Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11408
2019-11-17 
На верхнюю ветвь горизонтально расположенного камертона насыпан песок. Камертон посредством смычка приводят в колебания с частотой $\nu = 500 с^{-1}$. Какова амплитуда колебаний $A_{1}$ в том месте камертона, где песчинки не подскакивают? Какова амплитуда колебаний $A_{2}$ там, где песчинки подскакивают на высоту $h = 2 мм$ по отношению к их положению при покоящемся камертоне?
Камертон колеблется гармонически, т. е. в любом месте камертона смещение ветви от положения равновесия происходит по закону
$x(t) = A \sin \omega t, \omega = 2 \pi \nu$, (1)
причем в вертикальном направлении.
Скорость и ускорение точки, колеблющейся по закону (1), определяются, как известно, выражениями
$v(t) = A \omega \cos \omega t, a(t) = - A \omega^{2} \sin \omega t$. (2)
Решение:
Как видно из соотношений (2), ускорение изменяется в противофазе со смещением. В частности, если колеблющаяся тдчка смещается вверх от положения равновесия, ее ускорение направлено вниз и увеличивается по абсолютной величине вместе со смещением. Песчинка отрывается от ветви камертона в тот момент, когда точка ветви смещается вверх от положения равновесия, а ускорение равно $\vec{g}$. Отрыв происходит потому, что, начиная с этого момента, песчинка движется вверх с ускорением $\vec{g}$, направленным вниз, а ветвь камертона, двигаясь с большим, чем $\vec{g}$, по абсолютной величине ускорением, отстает от песчинки.
Следовательно, момент отрыва песчинки определяется равенством
$A \omega^{2} \sin \omega t_{0} = g$. (3)
В этот момент песчинка находится на высоте
$h_{0} = A \sin \omega t_{0}$ (4)
относительно ее положения при покоящемся камертоне и имеет скорость
$v_{0} = A \omega \cos \omega t_{0}$. (5)
Максимальную высоту, на которую поднимется оторвавшаяся песчинка, найдем из выражения $h = h_{0} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. Подставляя в последнее соотношение значения $t_{0}, h_{0}$ и $v_{0}$ из формул (3) - (5), получим, что $h = \frac{g}{2 \omega^{2}} + \frac{(A_{2} \omega )^{2}}{2g}$, откуда
$A_{2} = \frac{1}{ \omega} \sqrt{2gh - \left ( \frac{g}{ \omega} \right )^{2}} \approx 0,06 мм$.
Песчинки не подскакивают в тех местах, где ускорение не превышает по величине $g$, т. е.
$A_{1} \leq \frac{g}{ \omega^{2}} \approx 10^{-3} мм$.
На верхнюю ветвь горизонтально расположенного камертона насыпан песок. Камертон посредством смычка приводят в колебания с частотой $\nu = 500 с^{-1}$. Какова амплитуда колебаний $A_{1}$ в том месте камертона, где песчинки не подскакивают? Какова амплитуда колебаний $A_{2}$ там, где песчинки подскакивают на высоту $h = 2 мм$ по отношению к их положению при покоящемся камертоне?
Камертон колеблется гармонически, т. е. в любом месте камертона смещение ветви от положения равновесия происходит по закону
$x(t) = A \sin \omega t, \omega = 2 \pi \nu$, (1)
причем в вертикальном направлении.
Скорость и ускорение точки, колеблющейся по закону (1), определяются, как известно, выражениями
$v(t) = A \omega \cos \omega t, a(t) = - A \omega^{2} \sin \omega t$. (2)
Решение:
Как видно из соотношений (2), ускорение изменяется в противофазе со смещением. В частности, если колеблющаяся тдчка смещается вверх от положения равновесия, ее ускорение направлено вниз и увеличивается по абсолютной величине вместе со смещением. Песчинка отрывается от ветви камертона в тот момент, когда точка ветви смещается вверх от положения равновесия, а ускорение равно $\vec{g}$. Отрыв происходит потому, что, начиная с этого момента, песчинка движется вверх с ускорением $\vec{g}$, направленным вниз, а ветвь камертона, двигаясь с большим, чем $\vec{g}$, по абсолютной величине ускорением, отстает от песчинки.
Следовательно, момент отрыва песчинки определяется равенством
$A \omega^{2} \sin \omega t_{0} = g$. (3)
В этот момент песчинка находится на высоте
$h_{0} = A \sin \omega t_{0}$ (4)
относительно ее положения при покоящемся камертоне и имеет скорость
$v_{0} = A \omega \cos \omega t_{0}$. (5)
Максимальную высоту, на которую поднимется оторвавшаяся песчинка, найдем из выражения $h = h_{0} + \frac{v_{0}^{2}}{2g}$. Подставляя в последнее соотношение значения $t_{0}, h_{0}$ и $v_{0}$ из формул (3) - (5), получим, что $h = \frac{g}{2 \omega^{2}} + \frac{(A_{2} \omega )^{2}}{2g}$, откуда
$A_{2} = \frac{1}{ \omega} \sqrt{2gh - \left ( \frac{g}{ \omega} \right )^{2}} \approx 0,06 мм$.
Песчинки не подскакивают в тех местах, где ускорение не превышает по величине $g$, т. е.
$A_{1} \leq \frac{g}{ \omega^{2}} \approx 10^{-3} мм$.
