Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11407
2019-11-17 
На тележку опирается укрепленный шарнирно в точке $A$ диск массой $m$ (см. рис. а). Диск может вращаться вокруг $A$ в плоскости рисунка. Какую горизонтальную силу $F_{0}$ надо приложить к тележке, чтобы сдвинуть ее с места, если коэффициент трения между диском и тележкой равен $f$, угол между радиусами $OB$ и $OA$ равен $\phi$ ($0 \leq \phi \leq 2 \pi$)?
Решение:
Пусть мы пытаемся сдвинуть тележку вправо. Нам препятствует сила трения со стороны диска, направленная, естественно, влево. При этом в соответствии с третьим законом Ньютона на диск со стороны тележки действует сила $\vec{F}$, равная силе трения и направленная как указано на рисунке. Кроме того, на диск действуют сила тяжести $\vec{G}$, нормальная реакция опоры $\vec{Q}$ и некоторая сила $\vec{R}$ со стороны шарнира.
Так как диск неподвижен, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю. Вычисляя моменты относительно точки $A$, получаем, что
$Gr \sin \phi + F (r - r \cos \phi) - Qr \sin \phi = 0$, (1)
где $r$ - радиус диска.
Легко убедиться, что если тележку пытаться сдвинуть влево, уравнение моментов получится из уравнения (1) простой заменой $\phi$ на $- \phi$ (или на $2 \pi - \phi$). Поэтому отдельно этот случай рассматривать не нужно.
Когда тележка придет в движение, сила трения $F$ станет равной $fQ$, и, следовательно, выражение (1) примет вид
$mg \sin \phi - F (1 - \cos \phi) - \frac{ F \sin \phi}{f} = 0$,
откуда искомая сила $F_{0}$ определится выражением
$F_{0} \geq F = mg \frac{ \sin \phi}{ \cos \phi + \frac{ \sin \phi}{f} - 1 }$. (2)
Полученное выражение содержит несколько особенностей:
1) знаменатель может обратиться в нуль;
2) дробь может стать неопределенной (вида 0/0).
Как уже говорилось (см. задачу 11397), в таких случаях необходимо указать физические причины появления особенности. Сделаем это.
1. Обращение знаменателя при некотором значении угла $\phi_{0}$ в нуль, а силы $F$ - в бесконечность означает, что сдвинуть тележку указанным способом невозможно. Происходит так называемое заклинивание: чем большей силой мы воздействует на тележку, тем больше становится препятствующая нам сила трения. Читатель может убедиться в существовании этого явления на простейшем опыте, который изображен на рис. б. Схема опыта похожа на условия задачи. Попытайтесь выдернуть лист бумаги Б из-под карандаша К, верхний конец которого закреплен, например, пальцем П у стенки С. Угол $\psi$ должен быть близок к $90^{ \circ}$.
Нетрудно убедиться, что угол $\phi_{0}$ существует при любых значениях $f$ и лежит в пределах $\pi /2 < \phi_{0} < \pi$.
2. Если $\phi = 0$, то числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Раскрыв с помощью специальных методов неопределенность (т. е. определив истинное значение дроби, если такое существует), мы получим результат: $F_{0} ( \phi = 0) = mgf$, что совпадает со вначениями искомой силы, если $\phi$ близко к нулю (или к $2 \pi$), когда $F_{0}$ может быть определена из формулы (2).
3. Еще одна особенность полученного результата. Если $\phi_{0} < \phi < \pi$, то $F < 0$. Математик здесь не увидит ничего предосудительного, но физически это бессмысленно. Ведь при $F < 0$ саму силу трения $\vec{F}$ придется направить в сторону, противоположную выбранной первоначально. Такое легко может случиться со скоростями, ускорениями, силами и даже со скалярами, имеющими знак (ток, время). Но направление силы трения выбрано по условиям задачи заранее, притом так, что трение препятствует возникновению относительного движения или самому такому движению. Если после этого изменить направление силы трения, то последняя, наоборот, будет способствовать движению, что противоестественно.
И еще одно замечание. Как известно, для равновесия тела необходимо выполнение двух условий: сумма сил, действующих на тело, должна быть равна нулю, и сумма моментов сил относительно произвольной оси также должна быть равна нулю. В этой задаче мы ограничились исследованием лишь второго равенства. Правомерен ли такой подход? Да, правомерен. Сформулируем несколько простых правил, полезных при решении задач статики твердого тела.
1. Если по условиям конкретной задачи (см. задачи 11382, 11383) тело может двигаться только поступательно, интерес представляет лишь решение уравнения, утверждающего равенство нулю суммы всех сил, действующих на тело. Суммируя силы, их можно переносить параллельно самим себе.
Сумма моментов сил в этом случае также равна нулю, но соответствующее уравнение обычно оказывается избыточным, так как не несет, скорее всего, никакой новой информации. Оно позволит лишь проверить, что тело под действием данных сил не начнет, например, опрокидываться. Если такая возможность заранее исключена, проверять нечего.
2. Если по условиям задачи (как в данном случае) тело может лишь вращаться вокруг некоторой неподвижной оси, исчерпывающим утверждением, как правило, является равенство нулю суммы моментов сил, действующих на тело, относительно любой оси. При вычислении моментов силы можно переносить только по линиям их действия.
Сумма всех сил в этом случае также равна нулю, но соответствующее уравнение позволит определить, скорее всего, лишь реакцию опоры, т. е. силу, действующую на тело со стороны оси или точки, вокруг которой тело может вращаться. Сумму моментов сил предпочтительнее вычислять именно относительно этой оси, тогда момент реакции оси в уравнение не войдет, так как плечо этой силы равно нулю. Разумеется, если целью задачи является определение именно реакции опоры, уравнение для сил придется составлять.
3. Если возможное движение тела является суммой поступательного и вращательного движений (иными словами, не является ни чисто поступательным, ни чисто вращательным движением), для решения задачи необходимо составление уравнений и для сил и для их моментов. Правила переноса сил при составлении каждого из уравнений, приведенные выше, сохраняются.
4. Полезно иметь в виду, что если в задаче существенна деформация тела, то силы вообще нельзя переносить.
На тележку опирается укрепленный шарнирно в точке $A$ диск массой $m$ (см. рис. а). Диск может вращаться вокруг $A$ в плоскости рисунка. Какую горизонтальную силу $F_{0}$ надо приложить к тележке, чтобы сдвинуть ее с места, если коэффициент трения между диском и тележкой равен $f$, угол между радиусами $OB$ и $OA$ равен $\phi$ ($0 \leq \phi \leq 2 \pi$)?
Решение:
Пусть мы пытаемся сдвинуть тележку вправо. Нам препятствует сила трения со стороны диска, направленная, естественно, влево. При этом в соответствии с третьим законом Ньютона на диск со стороны тележки действует сила $\vec{F}$, равная силе трения и направленная как указано на рисунке. Кроме того, на диск действуют сила тяжести $\vec{G}$, нормальная реакция опоры $\vec{Q}$ и некоторая сила $\vec{R}$ со стороны шарнира.
Так как диск неподвижен, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю. Вычисляя моменты относительно точки $A$, получаем, что
$Gr \sin \phi + F (r - r \cos \phi) - Qr \sin \phi = 0$, (1)
где $r$ - радиус диска.
Легко убедиться, что если тележку пытаться сдвинуть влево, уравнение моментов получится из уравнения (1) простой заменой $\phi$ на $- \phi$ (или на $2 \pi - \phi$). Поэтому отдельно этот случай рассматривать не нужно.
Когда тележка придет в движение, сила трения $F$ станет равной $fQ$, и, следовательно, выражение (1) примет вид
$mg \sin \phi - F (1 - \cos \phi) - \frac{ F \sin \phi}{f} = 0$,
откуда искомая сила $F_{0}$ определится выражением
$F_{0} \geq F = mg \frac{ \sin \phi}{ \cos \phi + \frac{ \sin \phi}{f} - 1 }$. (2)
Полученное выражение содержит несколько особенностей:
1) знаменатель может обратиться в нуль;
2) дробь может стать неопределенной (вида 0/0).
Как уже говорилось (см. задачу 11397), в таких случаях необходимо указать физические причины появления особенности. Сделаем это.
1. Обращение знаменателя при некотором значении угла $\phi_{0}$ в нуль, а силы $F$ - в бесконечность означает, что сдвинуть тележку указанным способом невозможно. Происходит так называемое заклинивание: чем большей силой мы воздействует на тележку, тем больше становится препятствующая нам сила трения. Читатель может убедиться в существовании этого явления на простейшем опыте, который изображен на рис. б. Схема опыта похожа на условия задачи. Попытайтесь выдернуть лист бумаги Б из-под карандаша К, верхний конец которого закреплен, например, пальцем П у стенки С. Угол $\psi$ должен быть близок к $90^{ \circ}$.
Нетрудно убедиться, что угол $\phi_{0}$ существует при любых значениях $f$ и лежит в пределах $\pi /2 < \phi_{0} < \pi$.
2. Если $\phi = 0$, то числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Раскрыв с помощью специальных методов неопределенность (т. е. определив истинное значение дроби, если такое существует), мы получим результат: $F_{0} ( \phi = 0) = mgf$, что совпадает со вначениями искомой силы, если $\phi$ близко к нулю (или к $2 \pi$), когда $F_{0}$ может быть определена из формулы (2).
3. Еще одна особенность полученного результата. Если $\phi_{0} < \phi < \pi$, то $F < 0$. Математик здесь не увидит ничего предосудительного, но физически это бессмысленно. Ведь при $F < 0$ саму силу трения $\vec{F}$ придется направить в сторону, противоположную выбранной первоначально. Такое легко может случиться со скоростями, ускорениями, силами и даже со скалярами, имеющими знак (ток, время). Но направление силы трения выбрано по условиям задачи заранее, притом так, что трение препятствует возникновению относительного движения или самому такому движению. Если после этого изменить направление силы трения, то последняя, наоборот, будет способствовать движению, что противоестественно.
И еще одно замечание. Как известно, для равновесия тела необходимо выполнение двух условий: сумма сил, действующих на тело, должна быть равна нулю, и сумма моментов сил относительно произвольной оси также должна быть равна нулю. В этой задаче мы ограничились исследованием лишь второго равенства. Правомерен ли такой подход? Да, правомерен. Сформулируем несколько простых правил, полезных при решении задач статики твердого тела.
1. Если по условиям конкретной задачи (см. задачи 11382, 11383) тело может двигаться только поступательно, интерес представляет лишь решение уравнения, утверждающего равенство нулю суммы всех сил, действующих на тело. Суммируя силы, их можно переносить параллельно самим себе.
Сумма моментов сил в этом случае также равна нулю, но соответствующее уравнение обычно оказывается избыточным, так как не несет, скорее всего, никакой новой информации. Оно позволит лишь проверить, что тело под действием данных сил не начнет, например, опрокидываться. Если такая возможность заранее исключена, проверять нечего.
2. Если по условиям задачи (как в данном случае) тело может лишь вращаться вокруг некоторой неподвижной оси, исчерпывающим утверждением, как правило, является равенство нулю суммы моментов сил, действующих на тело, относительно любой оси. При вычислении моментов силы можно переносить только по линиям их действия.
Сумма всех сил в этом случае также равна нулю, но соответствующее уравнение позволит определить, скорее всего, лишь реакцию опоры, т. е. силу, действующую на тело со стороны оси или точки, вокруг которой тело может вращаться. Сумму моментов сил предпочтительнее вычислять именно относительно этой оси, тогда момент реакции оси в уравнение не войдет, так как плечо этой силы равно нулю. Разумеется, если целью задачи является определение именно реакции опоры, уравнение для сил придется составлять.
3. Если возможное движение тела является суммой поступательного и вращательного движений (иными словами, не является ни чисто поступательным, ни чисто вращательным движением), для решения задачи необходимо составление уравнений и для сил и для их моментов. Правила переноса сил при составлении каждого из уравнений, приведенные выше, сохраняются.
4. Полезно иметь в виду, что если в задаче существенна деформация тела, то силы вообще нельзя переносить.
