Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11405
2019-11-17 
Как будет двигаться сфера и материальная точка в условиях задачи 11395, если коэффициент трения между сферой и подставкой таков, что сфера не скользит по подставке, пока давит на нее?
Решение:
Рассмотрим сначала силы, действующие на сферу, когда масса находится в точке $M$ (см. рис. а). Так как сумма моментов этих сил равна нулю относительно центра сферы, то $F^{ \prime} = F_{тр}$. Тогда очевидно, что если в какой-то момент времени сила давления $\vec{Q}^{ \prime}$ массы на сферу обращается в нуль, то исчезают и все остальные силы.
Рассмотрим силы, действующие на материальную точку (рис. б). По третьему закону Ньютона $\vec{F} = - \vec{F}^{ \prime}, \vec{Q} = - \vec{Q}^{ \prime}$. Пока сфера не скользит по подставке, материальная точка в любой момент времени движется так, как если бы она вращалась вокруг точки $O_{1}$ - мгновенного центра вращения. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона для этого необходимо, чтобы сумма действующих на точку $M$ сил обеспечила необходимое центростремительное ускорение, т. е. чтобы
$\frac{Mv^{2} }{r} = Mg \cos \frac{ \alpha}{2} - Q \cos \frac{ \alpha}{2} - F \sin \frac{ \alpha}{2}$, (1)
где $r = O_{1}M$.
Скорость массы $M$ в этот момент времени определяется законом сохранения энергии, т. е.
$\frac{Mv^{2}}{2} = MgR (1 - \cos \alpha)$. (2)
Учитывая, что $r = 2R \cos ( \alpha /2)$, и полагая $Q = F = 0$, из выражений (1) и (2) получаем, что масса $M$ перестает давить на сферу при выполнении условия $\cos ( \alpha / 2) = \sqrt{ \frac{2}{3} }$. Следовательно, движение наших тел происходит следующим образом:
1) в течение некоторого времени после начального момента сфера катится без проскальзывания по подставке, а материальная точка движется по циклоиде;
2) в момент, когда радиус, проведенный из центра сферы в материальную точку, составит с вертикалью угол $\alpha_{0}$ такой, что $\cos ( \alpha_{0}/2) = \sqrt{ \frac{2}{3}}$, материальная точка и сфера перестают взаимодействовать; одновременно прекращается взаимодействие сферы с подставкой; после этого материальная точка движется только под действием силы тяжести, т. е. по параболе, а сфера, поворачиваясь, скользит по подставке;
3) через некоторое время материальная точка падает на подставку, причем, если это столкновение упруго, в дальнейшем материальная точка будет прыгать по подставке, одновременно перемещаясь вдоль нее.
Как будет двигаться сфера и материальная точка в условиях задачи 11395, если коэффициент трения между сферой и подставкой таков, что сфера не скользит по подставке, пока давит на нее?
Решение:
Рассмотрим сначала силы, действующие на сферу, когда масса находится в точке $M$ (см. рис. а). Так как сумма моментов этих сил равна нулю относительно центра сферы, то $F^{ \prime} = F_{тр}$. Тогда очевидно, что если в какой-то момент времени сила давления $\vec{Q}^{ \prime}$ массы на сферу обращается в нуль, то исчезают и все остальные силы.
Рассмотрим силы, действующие на материальную точку (рис. б). По третьему закону Ньютона $\vec{F} = - \vec{F}^{ \prime}, \vec{Q} = - \vec{Q}^{ \prime}$. Пока сфера не скользит по подставке, материальная точка в любой момент времени движется так, как если бы она вращалась вокруг точки $O_{1}$ - мгновенного центра вращения. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона для этого необходимо, чтобы сумма действующих на точку $M$ сил обеспечила необходимое центростремительное ускорение, т. е. чтобы
$\frac{Mv^{2} }{r} = Mg \cos \frac{ \alpha}{2} - Q \cos \frac{ \alpha}{2} - F \sin \frac{ \alpha}{2}$, (1)
где $r = O_{1}M$.
Скорость массы $M$ в этот момент времени определяется законом сохранения энергии, т. е.
$\frac{Mv^{2}}{2} = MgR (1 - \cos \alpha)$. (2)
Учитывая, что $r = 2R \cos ( \alpha /2)$, и полагая $Q = F = 0$, из выражений (1) и (2) получаем, что масса $M$ перестает давить на сферу при выполнении условия $\cos ( \alpha / 2) = \sqrt{ \frac{2}{3} }$. Следовательно, движение наших тел происходит следующим образом:
1) в течение некоторого времени после начального момента сфера катится без проскальзывания по подставке, а материальная точка движется по циклоиде;
2) в момент, когда радиус, проведенный из центра сферы в материальную точку, составит с вертикалью угол $\alpha_{0}$ такой, что $\cos ( \alpha_{0}/2) = \sqrt{ \frac{2}{3}}$, материальная точка и сфера перестают взаимодействовать; одновременно прекращается взаимодействие сферы с подставкой; после этого материальная точка движется только под действием силы тяжести, т. е. по параболе, а сфера, поворачиваясь, скользит по подставке;
3) через некоторое время материальная точка падает на подставку, причем, если это столкновение упруго, в дальнейшем материальная точка будет прыгать по подставке, одновременно перемещаясь вдоль нее.
