Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11404
2019-11-17 
На краю прямоугольного обрыва высотой $h$ лежит однородный шар радиусом $R$. В исходном положении шар находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. центр шара лежит над краем обрыва (см. рис. а). Определить место падения шара на Землю, если его вывести из состояния равновесия. Трение между шаром и обрывом отсутствует.
Выражение "тело выведено из состояния равновесия" обычно означает, что тело смещено из состояния равновесия на малую величину и начинает движение из этого положения с нулевой начальной скоростью.
Решение:
Рассмотрим движение шара в положении, указанном на рис. б. На шар действуют только две силы: сила тяжести $\vec{G}$ и реакция опоры $\vec{Q}$, причем сила $\vec{Q}$ направлена к центру шара. Плечи этих сил относительно центра шара (который по условию является центром масс) равны нулю, а значит, шар движется поступательно, т. е. является в условиях нашей задачи материальной точкой (см. задачу 11391).
Для наглядности на рис. а, б изображено это поступательное движение. На шаре нарисованы полоски из точек, как на детском мячике. При движении шара каждая полоска перемещается, оставаясь в плоскости, параллельной исходной.
Из второго закона Ньютона следует, что вплоть до момента отрыва шара от края обрыва справедливо соотношение $G \cos \alpha - Q = \frac{mv^{2}}{R}$, где $m$ - масса шара; $v$ - его скорость в рассматриваемом положении. Величину скорости можно определить исходя из закона сохранения энергии: $GR (1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{2}}{2}$, где величина $R (1 - \cos \alpha)$ равна высоте, на которую опустился шар по сравнению с исходным положением. Сравнивая выписанные уравнения, находим, что
$v = \sqrt{ \frac{2gR(G - Q)}{3G}}$, (1)
$\cos \alpha = \frac{2G + Q}{3G}$.
Шар отрывается в тот момент, когда он перестает давить на край обрыва. Полагая в соотношениях (1) $Q = 0$, находим скорость шара в этот момент: $v_{0} = \sqrt{ \frac{2gR}{3}}$, высоту нижней точки шара над Землей: $h_{0} = h - \frac{R}{3}$ и угол наклона вектора скорости к горизонту $\alpha_{0}$, причем $\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}$. При этом, разумеется, будем считать, что $h > R/3$. После этого остается решить простую кинематическую задачу. Если $x_{0}$ - искомое расстояние точки падения от края обрыва, то ответ имеет вид
$x_{0} = \sqrt{ \frac{5}{9}} R \left [ 1 + \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} }{gR} \left ( \sqrt{1 + \frac{18}{5} \frac{gh_{0} }{v_{0}^{2} }} - 1 \right ) \right ]$.
Уточним одно использованное в решении условие. Почему, собственно, сила давления перпендикулярна к поверхности шара, а не направлена как-то по другому? Для ответа на этот вопрос прежде всего дадим необходимые определения.
Пусть выпуклые тела $A$ и $B$ находятся в непосредственном механическом контакте (рис. в). При этом на тело $A$ со стороны тела $B$ действует сила $\vec{F}_{A}$. Из-за деформации тел их контакт осуществляется не в точке касания $O$, а по малой площадке, окружающей точку $O$. В силу малости площадку можно считать плоской.
Проведем нормаль к площадке и разложим полную силу $\vec{F}_{A}$ на составляющие: $\vec{F}_{n}$ по направлению нормали и $\vec{F}_{t}$, лежащую в плоскости площадки. По определению $\vec{F}_{n}$ называется силой нормального давления, $\vec{F}_{t}$ - силой трения. Иными словами, сила трения является лежащей в плоскости соприкосновения составляющей силы взаимодействия соприкасающихся тел.
При соприкосновении шара и края обрыва плоскость соприкосновения на первый взгляд не определена. Однако следует учесть, что идеальный угол - это геометрическая абстракция; у реальных тел острая кромка или острие является частью цилиндра или сферы малых радиусов. Отсюда и следует указанное в решении задачи направление силы нормального давления.
На краю прямоугольного обрыва высотой $h$ лежит однородный шар радиусом $R$. В исходном положении шар находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. центр шара лежит над краем обрыва (см. рис. а). Определить место падения шара на Землю, если его вывести из состояния равновесия. Трение между шаром и обрывом отсутствует.
Выражение "тело выведено из состояния равновесия" обычно означает, что тело смещено из состояния равновесия на малую величину и начинает движение из этого положения с нулевой начальной скоростью.
Решение:
Рассмотрим движение шара в положении, указанном на рис. б. На шар действуют только две силы: сила тяжести $\vec{G}$ и реакция опоры $\vec{Q}$, причем сила $\vec{Q}$ направлена к центру шара. Плечи этих сил относительно центра шара (который по условию является центром масс) равны нулю, а значит, шар движется поступательно, т. е. является в условиях нашей задачи материальной точкой (см. задачу 11391).
Для наглядности на рис. а, б изображено это поступательное движение. На шаре нарисованы полоски из точек, как на детском мячике. При движении шара каждая полоска перемещается, оставаясь в плоскости, параллельной исходной.
Из второго закона Ньютона следует, что вплоть до момента отрыва шара от края обрыва справедливо соотношение $G \cos \alpha - Q = \frac{mv^{2}}{R}$, где $m$ - масса шара; $v$ - его скорость в рассматриваемом положении. Величину скорости можно определить исходя из закона сохранения энергии: $GR (1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{2}}{2}$, где величина $R (1 - \cos \alpha)$ равна высоте, на которую опустился шар по сравнению с исходным положением. Сравнивая выписанные уравнения, находим, что
$v = \sqrt{ \frac{2gR(G - Q)}{3G}}$, (1)
$\cos \alpha = \frac{2G + Q}{3G}$.
Шар отрывается в тот момент, когда он перестает давить на край обрыва. Полагая в соотношениях (1) $Q = 0$, находим скорость шара в этот момент: $v_{0} = \sqrt{ \frac{2gR}{3}}$, высоту нижней точки шара над Землей: $h_{0} = h - \frac{R}{3}$ и угол наклона вектора скорости к горизонту $\alpha_{0}$, причем $\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}$. При этом, разумеется, будем считать, что $h > R/3$. После этого остается решить простую кинематическую задачу. Если $x_{0}$ - искомое расстояние точки падения от края обрыва, то ответ имеет вид
$x_{0} = \sqrt{ \frac{5}{9}} R \left [ 1 + \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} }{gR} \left ( \sqrt{1 + \frac{18}{5} \frac{gh_{0} }{v_{0}^{2} }} - 1 \right ) \right ]$.
Уточним одно использованное в решении условие. Почему, собственно, сила давления перпендикулярна к поверхности шара, а не направлена как-то по другому? Для ответа на этот вопрос прежде всего дадим необходимые определения.
Пусть выпуклые тела $A$ и $B$ находятся в непосредственном механическом контакте (рис. в). При этом на тело $A$ со стороны тела $B$ действует сила $\vec{F}_{A}$. Из-за деформации тел их контакт осуществляется не в точке касания $O$, а по малой площадке, окружающей точку $O$. В силу малости площадку можно считать плоской.
Проведем нормаль к площадке и разложим полную силу $\vec{F}_{A}$ на составляющие: $\vec{F}_{n}$ по направлению нормали и $\vec{F}_{t}$, лежащую в плоскости площадки. По определению $\vec{F}_{n}$ называется силой нормального давления, $\vec{F}_{t}$ - силой трения. Иными словами, сила трения является лежащей в плоскости соприкосновения составляющей силы взаимодействия соприкасающихся тел.
При соприкосновении шара и края обрыва плоскость соприкосновения на первый взгляд не определена. Однако следует учесть, что идеальный угол - это геометрическая абстракция; у реальных тел острая кромка или острие является частью цилиндра или сферы малых радиусов. Отсюда и следует указанное в решении задачи направление силы нормального давления.
