Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11403
2019-11-17 
Тонкая нерастяжимая цепочка с пренебрежимо малыми кольцами перекинута через неподвижный блок. Свешивающиеся с блока части цепочки лежат на столе и на полу, причем часть, находящаяся на столе, достаточно длинная и уложена в малую бухту вокруг точки $B$ (отрезок $BB_{1}$ вертикален). Найти скорость установившегося движения висящей части цепочки, если стол находится на высоте $h$ над полом (см. рисунок).
Решение:
Сначала, разумеется, нужно убедиться в том, что движение действительно устанавливается.
Для удобства введем следующие обозначения: $\mu$ - масса единицы длины цепочки, $l$ - длина части $ADB$ цепочки, $F_{A}$ и $F_{B}$ - натяжения цепочки в точках $A$ и $B$.
Пусть в момент времени $t$ цепочка движется со скоростью $v$ и ускорением $a$, которые для определенности будем считать направленными от $A$ к $C$.
На основе второго и третьего законов Ньютона для отрезков $AC$ и $AB$ цепочки можно записать
$\begin{cases} \mu gh - F_{A} = \mu ah, \\ F_{A} - F_{B} = \mu al. \end{cases}$ (1)
Из этих уравнений $F_{B} = \mu h (g - a) - \mu al$. Рассмотрим интервал времени от $t$ до $t + \Delta t$, настолько малый, что скорость движения можно было бы считать постоянной. За время $\Delta t$ в движение вовлечен отрезок цепочки длиной $\Delta l = v \Delta t$, который в момент $t$ лежал на столе. В момент $t + \Delta t$ этот отрезок имеет количество движения, равное величине $v \mu \Delta l = \mu v^{2} \Delta t$. По второму закону Ньютона это количество движения равно импульсу действующей силы, т. е. $F_{B} \Delta t = \mu v^{2} \Delta t$. Сравнивая последнее выражение с формулой (1), находим, что
$v^{2} = h(g - a) - al$. (2)
Допустим теперь, что ускорение цепочки с течением времени увеличивается. Очевидно, что при этом должна увеличиваться й скорость цепочки (напоминаем, что направления ускорения и скорости приняты совпадающими). Однако это противоречит соотношению (2). Следовательно, ускорение цепочки может только уменьшаться. Поскольку скорость при этом продолжает возрастать, то движение устанавливается только по мере приближения величины ускорения к нулю, т. е., как следует из (2), при скорости $v_{0}$ такой, что
$v_{0}^{2} = lim_{a \rightarrow 0} v^{2} = gh$. (3)
Подобным же образом можно исследовать другие варианты движения цепочки в начальный момент времени и убедиться, что наш результат (3) справедлив всегда.
Школьник предложил другой подход к этой задаче. Пусть движение цепочки уже установилось и происходит со скоростью $v_{1}$. За время $\Delta t$ часть цепочки длиной $\Delta l = v_{1} \Delta t$ вовлечена в движение, т. е. приобрела кинетическую энергию $\Delta T = \frac{ \mu v_{1}^{3} \Delta t}{2}$, а, кроме того, точно такая же часть цепочки "перешла" со стола на пол, т. е. потенциальная энергия цепочки уменьшилась на величину $\Delta U = \mu v_{1} gh \Delta t$. Тогда по закону сохранения энергии $\Delta T = \Delta U$ и $v_{1}^{2} = 2gh$.
Этот результат отличается от полученного выше и несправедлив, так как закон сохранения механической энергии в том виде, как -его использовал школьник, в данном случае неприменим. Поясним это утверждение.
Вблизи точки $B$ происходит "рывок", т. е. покоившийся элемент цепочки должен практически мгновенно приобрести конечную скорость, что приводит к деформации этого элемента. Если деформация пластическая, то цепочка нагревается (что и имеет место в реальных условиях); если цепочка абсолютно упруга, то деформация приводит к возникновению в цепочке упругих продольных колебаний (попеременное сжатие и растяжение цепочки). В обоих случаях деформация связана с расходом энергии.
Тонкая нерастяжимая цепочка с пренебрежимо малыми кольцами перекинута через неподвижный блок. Свешивающиеся с блока части цепочки лежат на столе и на полу, причем часть, находящаяся на столе, достаточно длинная и уложена в малую бухту вокруг точки $B$ (отрезок $BB_{1}$ вертикален). Найти скорость установившегося движения висящей части цепочки, если стол находится на высоте $h$ над полом (см. рисунок).
Решение:
Сначала, разумеется, нужно убедиться в том, что движение действительно устанавливается.
Для удобства введем следующие обозначения: $\mu$ - масса единицы длины цепочки, $l$ - длина части $ADB$ цепочки, $F_{A}$ и $F_{B}$ - натяжения цепочки в точках $A$ и $B$.
Пусть в момент времени $t$ цепочка движется со скоростью $v$ и ускорением $a$, которые для определенности будем считать направленными от $A$ к $C$.
На основе второго и третьего законов Ньютона для отрезков $AC$ и $AB$ цепочки можно записать
$\begin{cases} \mu gh - F_{A} = \mu ah, \\ F_{A} - F_{B} = \mu al. \end{cases}$ (1)
Из этих уравнений $F_{B} = \mu h (g - a) - \mu al$. Рассмотрим интервал времени от $t$ до $t + \Delta t$, настолько малый, что скорость движения можно было бы считать постоянной. За время $\Delta t$ в движение вовлечен отрезок цепочки длиной $\Delta l = v \Delta t$, который в момент $t$ лежал на столе. В момент $t + \Delta t$ этот отрезок имеет количество движения, равное величине $v \mu \Delta l = \mu v^{2} \Delta t$. По второму закону Ньютона это количество движения равно импульсу действующей силы, т. е. $F_{B} \Delta t = \mu v^{2} \Delta t$. Сравнивая последнее выражение с формулой (1), находим, что
$v^{2} = h(g - a) - al$. (2)
Допустим теперь, что ускорение цепочки с течением времени увеличивается. Очевидно, что при этом должна увеличиваться й скорость цепочки (напоминаем, что направления ускорения и скорости приняты совпадающими). Однако это противоречит соотношению (2). Следовательно, ускорение цепочки может только уменьшаться. Поскольку скорость при этом продолжает возрастать, то движение устанавливается только по мере приближения величины ускорения к нулю, т. е., как следует из (2), при скорости $v_{0}$ такой, что
$v_{0}^{2} = lim_{a \rightarrow 0} v^{2} = gh$. (3)
Подобным же образом можно исследовать другие варианты движения цепочки в начальный момент времени и убедиться, что наш результат (3) справедлив всегда.
Школьник предложил другой подход к этой задаче. Пусть движение цепочки уже установилось и происходит со скоростью $v_{1}$. За время $\Delta t$ часть цепочки длиной $\Delta l = v_{1} \Delta t$ вовлечена в движение, т. е. приобрела кинетическую энергию $\Delta T = \frac{ \mu v_{1}^{3} \Delta t}{2}$, а, кроме того, точно такая же часть цепочки "перешла" со стола на пол, т. е. потенциальная энергия цепочки уменьшилась на величину $\Delta U = \mu v_{1} gh \Delta t$. Тогда по закону сохранения энергии $\Delta T = \Delta U$ и $v_{1}^{2} = 2gh$.
Этот результат отличается от полученного выше и несправедлив, так как закон сохранения механической энергии в том виде, как -его использовал школьник, в данном случае неприменим. Поясним это утверждение.
Вблизи точки $B$ происходит "рывок", т. е. покоившийся элемент цепочки должен практически мгновенно приобрести конечную скорость, что приводит к деформации этого элемента. Если деформация пластическая, то цепочка нагревается (что и имеет место в реальных условиях); если цепочка абсолютно упруга, то деформация приводит к возникновению в цепочке упругих продольных колебаний (попеременное сжатие и растяжение цепочки). В обоих случаях деформация связана с расходом энергии.
