Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11402
2019-11-17 
Две однотипные ракеты, имеющие скорости относительно Земли 10 и 15 км/с, одновременно включили двигатели на одно и то же время. В результате скорости обеих ракет возросли одинаково, на 1 км/с каждая. Рассмотрим увеличение кинетической энергии каждой ракеты (для удобства в необычных единицах: $m \: км^{2}/с^{2}$, где $m$ - масса ракеты):
$\Delta T_{1} = \frac{11^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2} = \frac{21}{2}$,
$\Delta T_{2} = \frac{16^{2}}{2} - \frac{15^{2}}{2} = \frac{31}{2}$.
Следовательно, у второй ракеты кинетическая энергия увеличилась на большее значение, чем у первой. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Ведь обе ракеты израсходовали на увеличение скорости одно и то же количество топлива с одинаковой теплотворной способностью.
Решение:
Нет, не противоречит. Топливо второй ракеты обладает большей кинетической энергией, чем топливо первой ракеты, и при сгорании уменьшает свою кинетическую энергию на большую величину, чем топливо первой ракеты.
Введем обозначения: $\Delta m$ - количество топлива, сгоревшего в ракете за малое время; $u$ - скорость ракеты относительно Земли; $\Delta u$ - приращение скорости ракеты в результате сгорания этого количества топлива; $v$ - скорость выброса продуктов горения топлива относительно ракеты; $Q$ - тепловая энергия, содержащаяся в $\Delta m$ топлива.
Будем считать для простоты, что вся тепловая энергия $Q$ топлива переходит в кинетическую энергию продуктов горения и ракеты. Учтем, что скорость выброшенных продуктов горения относительно Земли равна $u - v$. На основе закона сохранения энергии
$\frac{mu^{2}}{2} + Q = \frac{(m - \Delta m)(u + \Delta u)^{2}}{2} + \frac{ \Delta m (u - v)^{2}}{2}$. (1)
Приращения $\Delta T$ кинетических энергий ракет и продуктов сгорания составляют соответственно
$\Delta T_{1,2}^{ \prime} = \frac{(m - \Delta m)(u_{1,2} + \Delta u_{1,2})^{2}}{2} - \frac{(m - \Delta m)u_{1,2}^{2}}{2}$, (1)
$\Delta T_{1,2}^{ \prime \prime} = \frac{ \Delta m (u_{1,2} - v )^{2} }{2} - \frac{ \Delta m u_{1,2}^{2} }{2}$.
Из соотношений (1) и (2) следует, что $\Delta T_{1,2}^{ \prime} + \Delta T_{1,2}^{ \prime \prime} = Q$. Таким образом, суммарный прирост кинетической энергии системы равен количеству теплоты в топливе. Используя закон сохранения импульса $(m - \Delta m) \Delta u = \Delta mv$, нетрудно найти, что
$Q = \frac{m ( \Delta u_{1,2})^{2}}{2} - \frac{ \Delta m ( \Delta u_{1,2}^{2} - v^{2} ) }{2}$,
т. е. суммарный прирост кинетической энергии системы ракета - топливо не зависит от начальной скорости ракеты.
Дотошный читатель может спросить, логично ли это - опровергать нарушение закона сохранения, опираясь на сам этот закон. Не напоминает ли это чеховское "этого не может быть, потому что этого не может быть никогда"? Да, внешне напоминает, но все же наши рассуждения логичны. Первоначальный нелепый вывод в задаче возник лишь потому, что закон сохранения был использован неправильно. Стоило же учесть все слагаемые энергии системы - и недоразумение выяснилось.
И еще одно замечание. Если события, изложенные в задаче, рассматривались бы в разных системах отсчета, каждая из которых двигалась вместе с соответствующей ракетой до включения двигателя, противоречия вообще не возникло бы: в собственной системе каждая ракета увеличила бы скорость от 0 до 1 км/с за счет сгорания одного и того же количества топлива. Сравнивать же события между собой было бы нельзя: кинетическая энергия относительна (т. е. ее величина зависит от системы отсчета), поэтому при применении закона сохранения энергии все расчеты следует проводить для одной и той же системы отсчета.
Две однотипные ракеты, имеющие скорости относительно Земли 10 и 15 км/с, одновременно включили двигатели на одно и то же время. В результате скорости обеих ракет возросли одинаково, на 1 км/с каждая. Рассмотрим увеличение кинетической энергии каждой ракеты (для удобства в необычных единицах: $m \: км^{2}/с^{2}$, где $m$ - масса ракеты):
$\Delta T_{1} = \frac{11^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2} = \frac{21}{2}$,
$\Delta T_{2} = \frac{16^{2}}{2} - \frac{15^{2}}{2} = \frac{31}{2}$.
Следовательно, у второй ракеты кинетическая энергия увеличилась на большее значение, чем у первой. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Ведь обе ракеты израсходовали на увеличение скорости одно и то же количество топлива с одинаковой теплотворной способностью.
Решение:
Нет, не противоречит. Топливо второй ракеты обладает большей кинетической энергией, чем топливо первой ракеты, и при сгорании уменьшает свою кинетическую энергию на большую величину, чем топливо первой ракеты.
Введем обозначения: $\Delta m$ - количество топлива, сгоревшего в ракете за малое время; $u$ - скорость ракеты относительно Земли; $\Delta u$ - приращение скорости ракеты в результате сгорания этого количества топлива; $v$ - скорость выброса продуктов горения топлива относительно ракеты; $Q$ - тепловая энергия, содержащаяся в $\Delta m$ топлива.
Будем считать для простоты, что вся тепловая энергия $Q$ топлива переходит в кинетическую энергию продуктов горения и ракеты. Учтем, что скорость выброшенных продуктов горения относительно Земли равна $u - v$. На основе закона сохранения энергии
$\frac{mu^{2}}{2} + Q = \frac{(m - \Delta m)(u + \Delta u)^{2}}{2} + \frac{ \Delta m (u - v)^{2}}{2}$. (1)
Приращения $\Delta T$ кинетических энергий ракет и продуктов сгорания составляют соответственно
$\Delta T_{1,2}^{ \prime} = \frac{(m - \Delta m)(u_{1,2} + \Delta u_{1,2})^{2}}{2} - \frac{(m - \Delta m)u_{1,2}^{2}}{2}$, (1)
$\Delta T_{1,2}^{ \prime \prime} = \frac{ \Delta m (u_{1,2} - v )^{2} }{2} - \frac{ \Delta m u_{1,2}^{2} }{2}$.
Из соотношений (1) и (2) следует, что $\Delta T_{1,2}^{ \prime} + \Delta T_{1,2}^{ \prime \prime} = Q$. Таким образом, суммарный прирост кинетической энергии системы равен количеству теплоты в топливе. Используя закон сохранения импульса $(m - \Delta m) \Delta u = \Delta mv$, нетрудно найти, что
$Q = \frac{m ( \Delta u_{1,2})^{2}}{2} - \frac{ \Delta m ( \Delta u_{1,2}^{2} - v^{2} ) }{2}$,
т. е. суммарный прирост кинетической энергии системы ракета - топливо не зависит от начальной скорости ракеты.
Дотошный читатель может спросить, логично ли это - опровергать нарушение закона сохранения, опираясь на сам этот закон. Не напоминает ли это чеховское "этого не может быть, потому что этого не может быть никогда"? Да, внешне напоминает, но все же наши рассуждения логичны. Первоначальный нелепый вывод в задаче возник лишь потому, что закон сохранения был использован неправильно. Стоило же учесть все слагаемые энергии системы - и недоразумение выяснилось.
И еще одно замечание. Если события, изложенные в задаче, рассматривались бы в разных системах отсчета, каждая из которых двигалась вместе с соответствующей ракетой до включения двигателя, противоречия вообще не возникло бы: в собственной системе каждая ракета увеличила бы скорость от 0 до 1 км/с за счет сгорания одного и того же количества топлива. Сравнивать же события между собой было бы нельзя: кинетическая энергия относительна (т. е. ее величина зависит от системы отсчета), поэтому при применении закона сохранения энергии все расчеты следует проводить для одной и той же системы отсчета.
