Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1140
2016-10-20 
В двух калориметрах налито по 200 г воды — при температурах $+30^{ \circ}$ и $+40^{ \circ} C$. Из «горячего» калориметра зачерпывают 50 г воды, переливают в «холодный» и перемешивают. Затем из «холодного» калориметра переливают 50 г воды в «горячий» и снова перемешивают. Сколько раз нужно перелить такую же порцию воды туда-обратно, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше $1^{ \circ} C$? Потерями тепла в процессе переливаний и теплоёмкостью калориметров пренебречь.
Решение:
Обозначим исходные температуры горячей и холодной воды в калориметрах через $t_{г}$ и $t_{х}$ соответственно. Рассчитаем, какая температура $t_{1}$ установится в «холодном» калориметре после переливания в него горячей воды массой $\Delta m$. Из уравнения теплового баланса имеем:
$Cm(t_{1} - t_{х}) = C \Delta m(t_{г} - t_{1})$.
Здесь $m$ — исходная масса воды, находившейся в каждом из калориметров, $C$ — удельная теплоёмкость воды. Из этого уравнения находим:
$t_{1} = \frac{mt_{х}+ \Delta m t_{г}}{m + \Delta m} = \frac{kt_{г} + t_{х}}{k+1}$,
где введено обозначение $k = \frac{ \Delta m}{m} < 1$.
Далее найдём, какая температура $t_{2}$ установится в «горячем» калориметре после переливания в него массы воды $\Delta m$ из «холодного» калориметра. Из уравнения теплового баланса имеем:
$C(m - \Delta m)(t_{г} - t_{2}) = C \Delta m(t_{2} - t_{1})$.
Отсюда:
$t_{2} = \frac{(m- \Delta m)t_{г} + \Delta m t_{1}}{m} = kt_{1} + (1 - k) t_{г} = \frac{kt_{х} + t_{г}}{1+k}$.
Тогда после одного переливания туда-обратно разность температур в калориметрах составит
$t_{2}-t_{1} = (t_{г}-t_{х}) \frac{1-k}{1+k}$.
Ясно, что для того, чтобы получить разность температур в калориметрах $(t_{4} — t_{3})$ после второго переливания туда-обратно, нужно в последней формуле заменить $t_{г}$ на $t_{2}$ и $t_{х}$ на $t_{1}$:
$t_{4} - t_{3} = (t_{2} - t_{1}) \frac{1-k}{1+k} = (t_{г} - t_{х}) \frac{(1-k)^{2}}{(1+k)^{2}}$.
Таким образом, понятно, что при каждом переливании туда-обратно разность температур изменяется в $\frac{1-k}{1+k}$ раз. В нашем случае $t_{г}-t_{х} = 10^{ \circ} С, \Delta m = 50 г, m = 200 г$, откуда $k = 0,25$, и $\frac{1-k}{1+k} = 0,6$. С учётом этого окончательно имеем: разность температур после первого переливания туда-обратно будет равна $10^{ \circ} С \cdot 0,6 = 6^{ \circ} С$, после второго переливания $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{2} = 3,6 ^{ \circ} С$, после третьего переливания $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{3} \approx 2,2^{ \circ} С$, после четвёртого $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{4} \approx 1,3^{ \circ} С$, после пятого $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{5} \approx 0,8^{ \circ} С$. Значит, для того, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше $1^{ \circ} С$, достаточно сделать пять переливаний.
В двух калориметрах налито по 200 г воды — при температурах $+30^{ \circ}$ и $+40^{ \circ} C$. Из «горячего» калориметра зачерпывают 50 г воды, переливают в «холодный» и перемешивают. Затем из «холодного» калориметра переливают 50 г воды в «горячий» и снова перемешивают. Сколько раз нужно перелить такую же порцию воды туда-обратно, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше $1^{ \circ} C$? Потерями тепла в процессе переливаний и теплоёмкостью калориметров пренебречь.
Решение:
Обозначим исходные температуры горячей и холодной воды в калориметрах через $t_{г}$ и $t_{х}$ соответственно. Рассчитаем, какая температура $t_{1}$ установится в «холодном» калориметре после переливания в него горячей воды массой $\Delta m$. Из уравнения теплового баланса имеем:
$Cm(t_{1} - t_{х}) = C \Delta m(t_{г} - t_{1})$.
Здесь $m$ — исходная масса воды, находившейся в каждом из калориметров, $C$ — удельная теплоёмкость воды. Из этого уравнения находим:
$t_{1} = \frac{mt_{х}+ \Delta m t_{г}}{m + \Delta m} = \frac{kt_{г} + t_{х}}{k+1}$,
где введено обозначение $k = \frac{ \Delta m}{m} < 1$.
Далее найдём, какая температура $t_{2}$ установится в «горячем» калориметре после переливания в него массы воды $\Delta m$ из «холодного» калориметра. Из уравнения теплового баланса имеем:
$C(m - \Delta m)(t_{г} - t_{2}) = C \Delta m(t_{2} - t_{1})$.
Отсюда:
$t_{2} = \frac{(m- \Delta m)t_{г} + \Delta m t_{1}}{m} = kt_{1} + (1 - k) t_{г} = \frac{kt_{х} + t_{г}}{1+k}$.
Тогда после одного переливания туда-обратно разность температур в калориметрах составит
$t_{2}-t_{1} = (t_{г}-t_{х}) \frac{1-k}{1+k}$.
Ясно, что для того, чтобы получить разность температур в калориметрах $(t_{4} — t_{3})$ после второго переливания туда-обратно, нужно в последней формуле заменить $t_{г}$ на $t_{2}$ и $t_{х}$ на $t_{1}$:
$t_{4} - t_{3} = (t_{2} - t_{1}) \frac{1-k}{1+k} = (t_{г} - t_{х}) \frac{(1-k)^{2}}{(1+k)^{2}}$.
Таким образом, понятно, что при каждом переливании туда-обратно разность температур изменяется в $\frac{1-k}{1+k}$ раз. В нашем случае $t_{г}-t_{х} = 10^{ \circ} С, \Delta m = 50 г, m = 200 г$, откуда $k = 0,25$, и $\frac{1-k}{1+k} = 0,6$. С учётом этого окончательно имеем: разность температур после первого переливания туда-обратно будет равна $10^{ \circ} С \cdot 0,6 = 6^{ \circ} С$, после второго переливания $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{2} = 3,6 ^{ \circ} С$, после третьего переливания $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{3} \approx 2,2^{ \circ} С$, после четвёртого $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{4} \approx 1,3^{ \circ} С$, после пятого $10^{ \circ} С \cdot 0,6^{5} \approx 0,8^{ \circ} С$. Значит, для того, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше $1^{ \circ} С$, достаточно сделать пять переливаний.
