Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11397
2019-11-17 
Центры трех шаров расположены на одной прямой. Первому из них сообщают некоторую скорость $v_{0}$, после чего он абсолютно упруго сталкивается со вторым шаром. Затем второй абсолютно упруго ударяется о третий шар. Оба столкновения центральные.
Какова должна быть масса второго шара $m_{2}$ (массы $m_{1}$ и $m_{3}$ заданы), чтобы скорость третьего шара была максимальна при данной скорости $v_{0}$?
Решение:
Исследуем столкновение первого шара со вторым. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{0}^{2} }{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости первого и второго шаров после столкновения. Преобразуем систему уравнений к виду
$m_{1}(v_{0} - v_{1}) = m_{2}v_{2}$,
$m_{1}(v_{0} - v_{1})(v_{0} + v_{1}) = m_{2}v_{2}^{2}$.
Отсюда найдем решения
а) $v_{1} = v_{0}, v_{2} = 0$;
б) $v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} }v_{0}, v_{2} = \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} } v_{0}$.
Два решения получены, потому что использованные в задаче законы сохранения "не знают", было ли вообще столкновение. Первый ответ описывает события до столкновения и должен быть отброшен, как не решающий поставленную задачу.
Заметим, что это обычный результат при расчетах, опирающихся только на законы сохранения: направление, ход процесса эти законы не указывают. Надо пользоваться дополнительными соображениями. Например, разве закон сохранения энергии запрещает весомому телу неподвижно висеть над земной поверхностью без всяких опор и подвесок? Не запрещает. Энергия такого тела сохраняется.
Остается второе решение.
Аналогичный расчет для второго соударения приводит к следующему выражению для скорости третьего шара:
$v_{3} = \frac{2m_{2}v_{2}}{m_{3} + m_{2} } = \frac{4m_{1}m_{2}v_{0} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} ) } = \frac{4m_{1}v_{0} }{m_{1} + m_{3} + m_{2} + \frac{m_{1}m_{3} }{m_{2} } }$.
В последнем выражении числитель постоянен, следовательно, максимум дроби соответствует минимуму знаменателя. В свою очередь первые два слагаемых в знаменателе постоянны, и поиск максимального значения $v_{3}$ сводится к отыскиванию минимального значения выражения $m{2} + \frac{m_{1}m_{3}}{m_{2}}$. Последнее перепишем в виде $\sqrt{m_{1}m_{3}} \left ( \frac{m_{2} }{ \sqrt{m_{1}m_{3} } } + \frac{ \sqrt{m_{1}m_{3} } }{m_{2} } \right )$, что позволяет, воспользовавшись соотношением $\left ( x + \frac{1}{x} \right ) \geq 2$ при $x > 0$ (см. примечание к задаче 11378), найти, что искомый минимум достигается при $m_{2} = \sqrt{m_{1}m_{3}}$.
Центры трех шаров расположены на одной прямой. Первому из них сообщают некоторую скорость $v_{0}$, после чего он абсолютно упруго сталкивается со вторым шаром. Затем второй абсолютно упруго ударяется о третий шар. Оба столкновения центральные.
Какова должна быть масса второго шара $m_{2}$ (массы $m_{1}$ и $m_{3}$ заданы), чтобы скорость третьего шара была максимальна при данной скорости $v_{0}$?
Решение:
Исследуем столкновение первого шара со вторым. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$,
$\frac{m_{1}v_{0}^{2} }{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости первого и второго шаров после столкновения. Преобразуем систему уравнений к виду
$m_{1}(v_{0} - v_{1}) = m_{2}v_{2}$,
$m_{1}(v_{0} - v_{1})(v_{0} + v_{1}) = m_{2}v_{2}^{2}$.
Отсюда найдем решения
а) $v_{1} = v_{0}, v_{2} = 0$;
б) $v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} }v_{0}, v_{2} = \frac{2m_{1} }{m_{1} + m_{2} } v_{0}$.
Два решения получены, потому что использованные в задаче законы сохранения "не знают", было ли вообще столкновение. Первый ответ описывает события до столкновения и должен быть отброшен, как не решающий поставленную задачу.
Заметим, что это обычный результат при расчетах, опирающихся только на законы сохранения: направление, ход процесса эти законы не указывают. Надо пользоваться дополнительными соображениями. Например, разве закон сохранения энергии запрещает весомому телу неподвижно висеть над земной поверхностью без всяких опор и подвесок? Не запрещает. Энергия такого тела сохраняется.
Остается второе решение.
Аналогичный расчет для второго соударения приводит к следующему выражению для скорости третьего шара:
$v_{3} = \frac{2m_{2}v_{2}}{m_{3} + m_{2} } = \frac{4m_{1}m_{2}v_{0} }{(m_{1} + m_{2} )(m_{2} + m_{3} ) } = \frac{4m_{1}v_{0} }{m_{1} + m_{3} + m_{2} + \frac{m_{1}m_{3} }{m_{2} } }$.
В последнем выражении числитель постоянен, следовательно, максимум дроби соответствует минимуму знаменателя. В свою очередь первые два слагаемых в знаменателе постоянны, и поиск максимального значения $v_{3}$ сводится к отыскиванию минимального значения выражения $m{2} + \frac{m_{1}m_{3}}{m_{2}}$. Последнее перепишем в виде $\sqrt{m_{1}m_{3}} \left ( \frac{m_{2} }{ \sqrt{m_{1}m_{3} } } + \frac{ \sqrt{m_{1}m_{3} } }{m_{2} } \right )$, что позволяет, воспользовавшись соотношением $\left ( x + \frac{1}{x} \right ) \geq 2$ при $x > 0$ (см. примечание к задаче 11378), найти, что искомый минимум достигается при $m_{2} = \sqrt{m_{1}m_{3}}$.
