Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11394
2019-11-17 
На наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$ лежит доска массой $m_{1}$, на доске лежит брусок массой $m_{2}$. Коэффициент трения доски о плоскость $f_{1}$ бруска о доску - $f_{2}$. С какими ускорениями движутся брусок и доска, предоставленные самим себе (начальные скорости обоих тел равны нулю)?
Решение:
Силы, действующие на рассматриваемые тела, указаны на рис. а. Силы трения, параллельные наклонной плоскости, изображены пунктиром, чтобы подчеркнуть: заранее их направления нам неизвестны.
Выберем систему отсчета, как указано на рис. а, и запишем для каждого из тел уравнения движения, следующие из второго и третьего законов Ньютона, сначала в векторной форме:
$\begin{cases} m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{1} + \vec{Q}_{1} + (- \vec{F}_{2}) + (- \vec{Q}_{2}) = m_{1} \vec{a}_{1}, \\ m_{2} \vec{g} + \vec{F}_{2} + \vec{Q}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2} \end{cases}$
а затем в проекциях на координатные оси:
$m_{1}g \sin \alpha - F_{1} + F_{2} = m_{1}a_{1}$, (1)
$m_{2}g \sin \alpha - F_{2} = m_{2}a_{2}$, (2)
$Q_{1} - Q_{2} - m_{1}g \cos \alpha = 0$,
$Q_{2} - m_{2}g \cos \alpha = 0$.
(Было принято во внимание, что в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, тела не перемещаются, т. е. $a_{1y}, a_{2y} = 0$, и что $a_{1x} = a_{1}, a_{2x} = a_{2}$.) Из двух последних уравнений следует, что
$Q_{1} = (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, (3)
$Q_{2} = m_{2} g \cos \alpha$. (4)
В уравнениях (1), (2) содержатся четыре неизвестных: $a_{1}, a_{2}, F_{1}, F_{2}$. Уравнения (3), (4) не облегчают ситуацию. Следовательно, решение системы невозможно без использования каких-то дополнительных сведений о движении рассматриваемых тел. Динамические характеристики движения исчерпываются вторым законом Ньютона, так что дополнительная информация может содержаться только в кинематических уравнениях. В задачах, где исходные параметры заданы в общем виде (не численно), а тела в принципе могут оставаться неподвижными или перемещаться друг относительно друга, решение может быть найдено лишь в результате исследования всех возможных вариантов движения тел. В нашей задаче возможны такие случаи движения:
1. $a_{1}, a_{2} = 0$, т. е. оба тела неподвижны.
2. $a_{1} = 0, a_{2} \geq 0$ (доска неподвижна, брусок скользит по доске).
3. $a_{1} = a_{2} = a \geq 0$ (тела скользят по наклонной плоскости, оставаясь неподвижными друг относительно друга).
4. $a_{2} \geq a_{1} \geq 0$ (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок опережает доску).
5. $a_{1} \geq a_{2} \geq 0$ (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок отстает от доски).
Отрицательные значения проекций ускорений, очевидно, невозможны (впрочем, это можно и доказать).
Нетрудно убедиться в том, что в каждом из указанных случаев движения система (1), (2) дополняется двумя необходимыми для ее решения4 уравнениями (например, в случае 4 нам известны значения обеих сил трения). После этого можно приступить к решению системы, рассматривая варианты движения по отдельности. При этом мы обязаны не только получить выражения для искомых проекций ускорений $a_{1}$ и $a_{2}$ в каждом из случаев, но и указать, при каких значениях исходных параметров задачи (т. е. $m_{1}, m_{2}, f_{1}, f_{2}$ и $\alpha$) осуществляется тот или иной тип движения.
1. Из уравнений (1), (2) при $a_{1} = a_{2} = 0$ находим величины сил трения покоя: $F_{1} = ( m_{1} + m_{2}) g \sin \alpha, F_{2} = m_{2}g \sin \alpha$. Так как значения сил трения покоя удовлетворяют очевидным неравенствам
$F_{1} \leq f_{1}Q_{1} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, (5)
$F_{2} \leq f_{2}Q_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, (6)
то рассматриваемый случай имеет место, если
$f_{1} \geq tg \alpha, f_{2} \geq tg \alpha$. (7)
2. Сила трения между бруском и доской является силой трения скольжения, $F_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, что позволяет найти величину $a_{2}$ из уравнения (2):
$a_{2} = g ( \sin \alpha - f_{2} \cos \alpha)$. (8)
Определив из (1) величину $F_{1}$ и использовав неравенства (5) и $a-{2} \geq 0$, получим условия, при которых выполняется случай 2:
$f_{1} \geq \frac{m_{1} tg \alpha + m_{2}f_{2}}{m_{1} + m_{2}}, f_{2} \leq tg \alpha$. (9)
3. Сила трения между доской и наклонной плоскостью является силой трения скольжения, $F_{2} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, что позволяет определить из уравнений (1), (2) искомую проекцию ускорения $a$:
$a = g ( \sin \alpha - f_{1} \cos \alpha)$. (10)
Так как справедливы неравенства (6) и $a \geq 0$, то получаем, что
$f_{1} \leq tg \alpha, f_{2} \geq f_{1}$. (11)
4. Обе силы трения являются силами трения скольжения, $F_{1} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha, F_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, так что искомые проекции ускорений могут быть найдены из системы (1), (2) и определяются выражениями
$\begin{cases} a_{1} = g \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} } (f_{2} - f_{1}) g \cos \alpha, \\ a_{2} = g ( \sin \alpha - f_{2} \cos \alpha). \end{cases}$ (12)
Используя неравенства $a_{1} \geq 0$ и $a_{2} \geq a_{1}$, находим, что
$f_{1} \leq \frac{m_{1}tg \alpha + m_{2} tg f_{2} }{m_{1} + m_{2} }, f_{2} \leq f_{1}$. (13)
5. Обе силы трения также являются силами трения скольжения, но проекция силы трения между бруском и доской отрицательна (т. е. ее направление противоположно указанному на рис. a), $F_{2} = - f_{2}m_{2}g \cos \alpha$. При этом из неравенства $a_{2} > 0$ следует, что $f_{2} < 0$, что физически бессмысленно. Следовательно, такого движения в действительности быть не может.
Окончательный ответ выглядит следующим образом: если выполняются неравенства (7), то оба тела неподвижны; если справедливы неравенства (9), то $a_{1} = 0, a_{2}$ определяется равенством (8); если справедливы неравенства (11), то ускорения тел одинаковы и определяются равенством (10); если справедливы условия (13), то ускорения тел определяются равенствами (12).
Полезно представить результаты исследования в графической форме. Изобразим области, соответствующие неравенствам (7),
(9) , (11) и (13), в прямоугольной системе координат $f_{1}, f_{2}$ (рис. б). (Неравенству (7) соответствует область I и т. д.) Как видно из рисунка, все возможные значения пар положительных чисел $f_{1}$ и $f_{2}$ обязательно попадут в одну и только в одну из построенных областей, что доказывает полноту и однозначность полученного решения. (На линиях, разграничивающих области, поведение брусков неоднозначно - см. задачу 11383.)
На наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$ лежит доска массой $m_{1}$, на доске лежит брусок массой $m_{2}$. Коэффициент трения доски о плоскость $f_{1}$ бруска о доску - $f_{2}$. С какими ускорениями движутся брусок и доска, предоставленные самим себе (начальные скорости обоих тел равны нулю)?
Решение:
Силы, действующие на рассматриваемые тела, указаны на рис. а. Силы трения, параллельные наклонной плоскости, изображены пунктиром, чтобы подчеркнуть: заранее их направления нам неизвестны.
Выберем систему отсчета, как указано на рис. а, и запишем для каждого из тел уравнения движения, следующие из второго и третьего законов Ньютона, сначала в векторной форме:
$\begin{cases} m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{1} + \vec{Q}_{1} + (- \vec{F}_{2}) + (- \vec{Q}_{2}) = m_{1} \vec{a}_{1}, \\ m_{2} \vec{g} + \vec{F}_{2} + \vec{Q}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2} \end{cases}$
а затем в проекциях на координатные оси:
$m_{1}g \sin \alpha - F_{1} + F_{2} = m_{1}a_{1}$, (1)
$m_{2}g \sin \alpha - F_{2} = m_{2}a_{2}$, (2)
$Q_{1} - Q_{2} - m_{1}g \cos \alpha = 0$,
$Q_{2} - m_{2}g \cos \alpha = 0$.
(Было принято во внимание, что в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, тела не перемещаются, т. е. $a_{1y}, a_{2y} = 0$, и что $a_{1x} = a_{1}, a_{2x} = a_{2}$.) Из двух последних уравнений следует, что
$Q_{1} = (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, (3)
$Q_{2} = m_{2} g \cos \alpha$. (4)
В уравнениях (1), (2) содержатся четыре неизвестных: $a_{1}, a_{2}, F_{1}, F_{2}$. Уравнения (3), (4) не облегчают ситуацию. Следовательно, решение системы невозможно без использования каких-то дополнительных сведений о движении рассматриваемых тел. Динамические характеристики движения исчерпываются вторым законом Ньютона, так что дополнительная информация может содержаться только в кинематических уравнениях. В задачах, где исходные параметры заданы в общем виде (не численно), а тела в принципе могут оставаться неподвижными или перемещаться друг относительно друга, решение может быть найдено лишь в результате исследования всех возможных вариантов движения тел. В нашей задаче возможны такие случаи движения:
1. $a_{1}, a_{2} = 0$, т. е. оба тела неподвижны.
2. $a_{1} = 0, a_{2} \geq 0$ (доска неподвижна, брусок скользит по доске).
3. $a_{1} = a_{2} = a \geq 0$ (тела скользят по наклонной плоскости, оставаясь неподвижными друг относительно друга).
4. $a_{2} \geq a_{1} \geq 0$ (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок опережает доску).
5. $a_{1} \geq a_{2} \geq 0$ (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок отстает от доски).
Отрицательные значения проекций ускорений, очевидно, невозможны (впрочем, это можно и доказать).
Нетрудно убедиться в том, что в каждом из указанных случаев движения система (1), (2) дополняется двумя необходимыми для ее решения4 уравнениями (например, в случае 4 нам известны значения обеих сил трения). После этого можно приступить к решению системы, рассматривая варианты движения по отдельности. При этом мы обязаны не только получить выражения для искомых проекций ускорений $a_{1}$ и $a_{2}$ в каждом из случаев, но и указать, при каких значениях исходных параметров задачи (т. е. $m_{1}, m_{2}, f_{1}, f_{2}$ и $\alpha$) осуществляется тот или иной тип движения.
1. Из уравнений (1), (2) при $a_{1} = a_{2} = 0$ находим величины сил трения покоя: $F_{1} = ( m_{1} + m_{2}) g \sin \alpha, F_{2} = m_{2}g \sin \alpha$. Так как значения сил трения покоя удовлетворяют очевидным неравенствам
$F_{1} \leq f_{1}Q_{1} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, (5)
$F_{2} \leq f_{2}Q_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, (6)
то рассматриваемый случай имеет место, если
$f_{1} \geq tg \alpha, f_{2} \geq tg \alpha$. (7)
2. Сила трения между бруском и доской является силой трения скольжения, $F_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, что позволяет найти величину $a_{2}$ из уравнения (2):
$a_{2} = g ( \sin \alpha - f_{2} \cos \alpha)$. (8)
Определив из (1) величину $F_{1}$ и использовав неравенства (5) и $a-{2} \geq 0$, получим условия, при которых выполняется случай 2:
$f_{1} \geq \frac{m_{1} tg \alpha + m_{2}f_{2}}{m_{1} + m_{2}}, f_{2} \leq tg \alpha$. (9)
3. Сила трения между доской и наклонной плоскостью является силой трения скольжения, $F_{2} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha$, что позволяет определить из уравнений (1), (2) искомую проекцию ускорения $a$:
$a = g ( \sin \alpha - f_{1} \cos \alpha)$. (10)
Так как справедливы неравенства (6) и $a \geq 0$, то получаем, что
$f_{1} \leq tg \alpha, f_{2} \geq f_{1}$. (11)
4. Обе силы трения являются силами трения скольжения, $F_{1} = f_{1} (m_{1} + m_{2}) g \cos \alpha, F_{2} = f_{2}m_{2}g \cos \alpha$, так что искомые проекции ускорений могут быть найдены из системы (1), (2) и определяются выражениями
$\begin{cases} a_{1} = g \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} } (f_{2} - f_{1}) g \cos \alpha, \\ a_{2} = g ( \sin \alpha - f_{2} \cos \alpha). \end{cases}$ (12)
Используя неравенства $a_{1} \geq 0$ и $a_{2} \geq a_{1}$, находим, что
$f_{1} \leq \frac{m_{1}tg \alpha + m_{2} tg f_{2} }{m_{1} + m_{2} }, f_{2} \leq f_{1}$. (13)
5. Обе силы трения также являются силами трения скольжения, но проекция силы трения между бруском и доской отрицательна (т. е. ее направление противоположно указанному на рис. a), $F_{2} = - f_{2}m_{2}g \cos \alpha$. При этом из неравенства $a_{2} > 0$ следует, что $f_{2} < 0$, что физически бессмысленно. Следовательно, такого движения в действительности быть не может.
Окончательный ответ выглядит следующим образом: если выполняются неравенства (7), то оба тела неподвижны; если справедливы неравенства (9), то $a_{1} = 0, a_{2}$ определяется равенством (8); если справедливы неравенства (11), то ускорения тел одинаковы и определяются равенством (10); если справедливы условия (13), то ускорения тел определяются равенствами (12).
Полезно представить результаты исследования в графической форме. Изобразим области, соответствующие неравенствам (7),
(9) , (11) и (13), в прямоугольной системе координат $f_{1}, f_{2}$ (рис. б). (Неравенству (7) соответствует область I и т. д.) Как видно из рисунка, все возможные значения пар положительных чисел $f_{1}$ и $f_{2}$ обязательно попадут в одну и только в одну из построенных областей, что доказывает полноту и однозначность полученного решения. (На линиях, разграничивающих области, поведение брусков неоднозначно - см. задачу 11383.)
