Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11393
2019-11-17 
На наклонной плоскости с углом, при основании $\alpha$ находится брусок массой $m$, соединенный невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с грузом массой $M$ (см. рис. а). Определить ускорения бруска и груза, если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью равен $f$.
Решение:
Решение задач подобного типа существенно зависит от того, существует ли Начальная скорость относительного перемещения тел, между которыми действуют силы трения, и каково ее направление. Введем следующие обозначения: $\vec{v}_{01}$ и $\vec{v}_{02}$ - начальные скорости груза и бруска соответственно; $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ - искомые ускорения; $v_{01}$ - проекция скорости $\vec{v}_{01}$ на ось $O_{1}x_{1}$; $v_{02}$ - проекция скорости $\vec{v}_{02}$ на ось $O_{2}x_{2}$; $a_{1}, a_{2}$ - проекции ускорений на те же оси.
Выбор осей с учетом нерастяжимости нити приводит к очевидным равенствам: $v_{01} = v_{02} = v_{0}, a_{1} = a_{2} = a$.
1. Пусть начальная скорость $v_{0}$ перемещения груза $M$ отлична от нуля и для определенности направлена вниз (т.е. $v_{0} > 0$, рис. а). Соответственно брусок движется вверх по наклонной плоскости с той же скоростью. Тогда сила трения $F_{тр}$, действующая на брусок, есть сила трения скольжения и направлена вниз по наклонной плоскости (рис. б).
Учитывая, что натяжение $T$ нити всюду одинаково, а $F_{тр} = fQ$, где $Q$ - сила реакции опоры, равная величине $mg \cos \alpha$, по второму закону Ньютона получаем следующие уравнения движения бруска и груза:
$\begin{cases} T - F - F_{тр} = ma, \\ Mg - T = Ma, \end{cases}$ (1)
где $F = mg \sin \alpha$.
Решая систему (1) относительно $a$, получаем однозначно (вне зависимости от соотношений между исходными параметрами $M, m, f, \alpha$) значение $a$:
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha ) }{M + m}$,
откуда следует, что ускорения $a_{1}, a_{2}$ могут оказаться и совпадающими по направлению со скоростью $v_{0}$ и направленными в противоположную сторону. Для иного направления $v_{0}$ результат получаем аналогично.
2. Пусть начальная скорость $v_{0}$ равна нулю. Теперь заранее про силу трения известно лишь, что $| \vec{F}_{тр} | \leq fQ$. Для решения системы, в которую входит такое неравенство, необходим анализ всех возможных ситуаций.
а) Пусть значения масс $m$ и $M$ и угла $\alpha$ подобраны так, что при отсутствии трения груз $M$ начал бы опускаться, т. е.
$M \geq m \sin \alpha$. (2)
В этом случае сила трения, препятствуя такому движению, направлена так, как показано на рис. б, причем $F_{тр} \leq mg \cos \alpha$. Знак равенства соответствует случаю движения бруска и груза, т. е. случаю, когда $a > 0$, а значит, как только что вычислялось,
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha) }{M + m}$,
что реализуется при $\frac{M}{m} \geq \sin \alpha + f \cos \alpha$.
б) Если условие (2) не выполнено, то на брусок действует сила трения $F_{тр}$, направленная вверх по наклонной плоскости (см. рис. в), причем уравнения движения имеют вид
$\begin{cases} mg \sin \alpha - F_{тр} - T = ma, \\ T - Mg = Ma. \end{cases}$
Если $F_{тр} = fmg \cos \alpha$, т. е. $a > 0$, то
$a = g \frac{m ( \sin \alpha - f \cos \alpha) - M}{M + m}$,
что и окажется при $\frac{M}{m} \leq \sin \alpha - f \cos \alpha$.
Таким образом, окончательный ответ в случае, когда начальная скорость равна нулю, существенно зависит от соотношений между исходными параметрами $M, m, f, \alpha$ и должен быть записан так: если $\frac{M}{m} \geq \sin \alpha + f \cos \alpha$, то
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha) }{M + m}$
и груз $M$ опускается; если $\frac{M}{m} > \sin \alpha - f \cos \alpha$, то
$a = g \frac{m( \sin \alpha - f \cos \alpha) - M}{M + m}$
и груз $M$ поднимается; если $\sin \alpha - f \cos \alpha \leq \frac{M}{m} \leq \sin \alpha + f \cos \alpha$, то груз и брусок неподвижны.
На наклонной плоскости с углом, при основании $\alpha$ находится брусок массой $m$, соединенный невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, с грузом массой $M$ (см. рис. а). Определить ускорения бруска и груза, если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью равен $f$.
Решение:
Решение задач подобного типа существенно зависит от того, существует ли Начальная скорость относительного перемещения тел, между которыми действуют силы трения, и каково ее направление. Введем следующие обозначения: $\vec{v}_{01}$ и $\vec{v}_{02}$ - начальные скорости груза и бруска соответственно; $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ - искомые ускорения; $v_{01}$ - проекция скорости $\vec{v}_{01}$ на ось $O_{1}x_{1}$; $v_{02}$ - проекция скорости $\vec{v}_{02}$ на ось $O_{2}x_{2}$; $a_{1}, a_{2}$ - проекции ускорений на те же оси.
Выбор осей с учетом нерастяжимости нити приводит к очевидным равенствам: $v_{01} = v_{02} = v_{0}, a_{1} = a_{2} = a$.
1. Пусть начальная скорость $v_{0}$ перемещения груза $M$ отлична от нуля и для определенности направлена вниз (т.е. $v_{0} > 0$, рис. а). Соответственно брусок движется вверх по наклонной плоскости с той же скоростью. Тогда сила трения $F_{тр}$, действующая на брусок, есть сила трения скольжения и направлена вниз по наклонной плоскости (рис. б).
Учитывая, что натяжение $T$ нити всюду одинаково, а $F_{тр} = fQ$, где $Q$ - сила реакции опоры, равная величине $mg \cos \alpha$, по второму закону Ньютона получаем следующие уравнения движения бруска и груза:
$\begin{cases} T - F - F_{тр} = ma, \\ Mg - T = Ma, \end{cases}$ (1)
где $F = mg \sin \alpha$.
Решая систему (1) относительно $a$, получаем однозначно (вне зависимости от соотношений между исходными параметрами $M, m, f, \alpha$) значение $a$:
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha ) }{M + m}$,
откуда следует, что ускорения $a_{1}, a_{2}$ могут оказаться и совпадающими по направлению со скоростью $v_{0}$ и направленными в противоположную сторону. Для иного направления $v_{0}$ результат получаем аналогично.
2. Пусть начальная скорость $v_{0}$ равна нулю. Теперь заранее про силу трения известно лишь, что $| \vec{F}_{тр} | \leq fQ$. Для решения системы, в которую входит такое неравенство, необходим анализ всех возможных ситуаций.
а) Пусть значения масс $m$ и $M$ и угла $\alpha$ подобраны так, что при отсутствии трения груз $M$ начал бы опускаться, т. е.
$M \geq m \sin \alpha$. (2)
В этом случае сила трения, препятствуя такому движению, направлена так, как показано на рис. б, причем $F_{тр} \leq mg \cos \alpha$. Знак равенства соответствует случаю движения бруска и груза, т. е. случаю, когда $a > 0$, а значит, как только что вычислялось,
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha) }{M + m}$,
что реализуется при $\frac{M}{m} \geq \sin \alpha + f \cos \alpha$.
б) Если условие (2) не выполнено, то на брусок действует сила трения $F_{тр}$, направленная вверх по наклонной плоскости (см. рис. в), причем уравнения движения имеют вид
$\begin{cases} mg \sin \alpha - F_{тр} - T = ma, \\ T - Mg = Ma. \end{cases}$
Если $F_{тр} = fmg \cos \alpha$, т. е. $a > 0$, то
$a = g \frac{m ( \sin \alpha - f \cos \alpha) - M}{M + m}$,
что и окажется при $\frac{M}{m} \leq \sin \alpha - f \cos \alpha$.
Таким образом, окончательный ответ в случае, когда начальная скорость равна нулю, существенно зависит от соотношений между исходными параметрами $M, m, f, \alpha$ и должен быть записан так: если $\frac{M}{m} \geq \sin \alpha + f \cos \alpha$, то
$a = g \frac{M - m ( \sin \alpha + f \cos \alpha) }{M + m}$
и груз $M$ опускается; если $\frac{M}{m} > \sin \alpha - f \cos \alpha$, то
$a = g \frac{m( \sin \alpha - f \cos \alpha) - M}{M + m}$
и груз $M$ поднимается; если $\sin \alpha - f \cos \alpha \leq \frac{M}{m} \leq \sin \alpha + f \cos \alpha$, то груз и брусок неподвижны.
