Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11391
2019-11-17 
Распространены следующие определения: "Материальной точкой называется тело, размеры которого пренебрежимо малы сравнительно с его расстоянием до других тел". Или даже: "Материальная точка - это тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке".
Развивая последнюю мысль, логично добавить: материальных точек в природе нет и быть не может, так как любое тело имеет конечные размеры. Получается, что физика тщательно и кропотливо исследует то, что не существует. Разумеется, в физике идеализированные модели встречаются на каждом шагу. Именно поэтому надо твердо представлять, по какому направлению идет идеализация в конкретных понятиях, каковы границы применимости введенных моделей.
Попробуйте исправить приведенные выше определения материальной точки, обобщив особенности движения тел в следующих случаях:
а) скольжение бруска по наклонной плоскости;
б) вращение Земли вокруг Солнца;
в) колебания маленького массивного шарика на длинной невесомой нити (математический маятник).
Подскажем, что в указанных случаях брусок, Земля и шарик являются материальными точками.
Решение:
а) Движение бруска поступательное. Траектории всех его точек, их скорости и ускорения в любой момент времени одинаковы, следовательно, достаточно выяснить особенности движения любой точки бруска. Если брусок сделан из неоднородного по плотности материала, то это не скажется на его движении. Доведем неоднородность до крайности. Пусть вся масса бруска сосредоточена в одной точке: все равно в движении ничего не изменится. Естественно, что эта точка должна быть выбрана так, чтобы брусок не опрокинулся.
Вывод: исследуя поведение тела, движущегося поступательно, можно считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, К этой точке можно прикладывать все силы, действующие на тело. Размеры и формы тела на его движение не влияют.
Заметим, что первое из процитированных определений материальной точки к бруску не применимо: его размеры просто не с чем сравнить.
б) Движение Земли вокруг Солнца не является поступательным, так как Земля вращается вокруг своей оси. Однако совершенно очевидно, что на это вращение Солнце никак не влияет: иоле тяжести Солнца сферически симметрично и достаточно однородно, в пределах пространства, занятого Землей, и сила притяжения Солнцем Земли не создает вращающего момента относительно центра Земли. Движение центра масс Земли не зависит от ее вращения. (Конечно, Земля неоднородна по плотности, и к тому же не является шаром. Поле тяготения Солнца незначительно меняется в пределах части пространства, занятого Землей. По этим причинам, во-первых, отличен от нуля вращательный момент солнечного притяжения, и, во-вторых, возникают солнечные приливы - перемещающиеся с вращением Земли деформации ее верхних слоев. Оба фактора оказывают влияние на суточное вращение Земли, однако это влияние столь незначительно, что астрономические наблюдения за периодом суточного вращения Земли до самого последнего времени являлись основой службы точного (эталонного) времени). Следовательно, если нам нужно рассчитать траекторию какой-то точки Земли в пространстве, мы можем временно забыть о вращении Земли, полагать всю массу сосредоточенной в ее центре, рассчитать движение точки с такой массой, а затем наложить на рассчитанное движение суточное вращение Земли.
Итак, в данном случае ускорения всех точек Земли под действием только притяжения Солнца и других планет (кроме самой Земли) одинаковы и совпадают с величиной ускорения, вычисленной в предположении, что вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Скорость вращения Земли, ее форма, распределение массы по объему на величину этого ускорения не влияют. Этот результат - следствие малого размера Земли сравнительно с ее расстоянием до Солнца.
Высказанные соображения станут еще очевиднее, если применить их к Венере. Венера покрыта плотным слоем облаков, так что детали ее поверхности неразличимы. И никакие наблюдения за движением Венеры вокруг Солнца не могли ответить на вопрос: каково собственное вращение этой планеты?
в) Шарик, совершающий на длинной нити колебания, участвует как в поступательном, так и во вращательном движении (см. рисунок), поворачиваясь вокруг своего центра между крайними положениями на угол $2 \phi$ (в действительности чуть меньше). В отличие от предыдущего случая это вращение неравномерно и вызывается теми же силами, которые создают ускорение поступательного движения шарика. Поэтому безоговорочно пренебрегать вращением нельзя.
Сравним параметры поступательного и вращательного движения. Когда в поступательном движении шарик проходит расстояние $OO_{1} = l \phi$, $l$ - длина нити, то за счет вращения перемещение, например, верхней точки $N$ шарика составляет величину $r \phi$, где $r$ - радиус шарика. Средние скорости обоих движений пропорциональны соответствующим перемещениям, так как зависимость от времени в обоих случаях одинакова - синусоидальная. Поэтому $\frac{v_{в} }{v_{п}} = \frac{r}{l}$, где $v_{в}$ - скорость вращательного движения точки N, vn - скорость поступательного движения шарика. Следует учесть, что скорость $v_{в}^{ \prime}$ вращательного движения любой внутренней точки $N^{ \prime}$ шарика подчиняется соотношению
$v_{в}^{ \prime} < v_{в}$, (1)
так как точка $N$ ближе к оси вращения, чем точка $N$.
Для кинетических энергий поступательного и вращательного движения шарика, учитывая соотношение (1), придется написать уже строгое неравенство
$\frac{T_{в}}{T_{п}} < \left( \frac{v_{в}}{v_{п}} \right )^{2} = \left ( \frac{r}{l} \right )^{2}$. (2)
Но по условию $r/l \ll 1$. Тем более мало $(r/l)^{2}$. Это обстоятельство дает нам право пренебречь и самим вращательным движением шарика, и энергией этого движения, если нас интересуют характеристики поступательного движения, например период. Наше пренебрежение тем более обосновано, а результат тем более точен, чем лучше выполняется последнее неравенство.
Итак, при изучении колебаний математического маятника мы вправе, допуская лишь незначительную погрешность, не учитывать вращение шарика и считать его движение строго поступательным. Всю массу шарика в этом случае можно считать сосредоточенной в одной точке.
Два последних рассмотренных случая допускают следующее обобщение: если в течение некоторого промежутка времени изменение энергии вращательного движения тела значительно меньше изменения энергии поступательного движения, (при этом соотношении между величинами самих энергий может быть каким угодно), то при рассмотрении поступательного движения тела мы вправе в течение этого промежутка времени считать его материальной точкой.
Анализ случаев а), б), в) позволяет сделать следующий вывод.
Если на тело конечных размеров действуют несколько внешних сил, то ускорение центра масс тела (см. задачу 11386) можно вычислить следующим образом: всю массу тела считать сосредоточенной в центре масс, силы - приложенными к этому центру, и затем воспользоваться вторым законом Ньютона (см. задачи 11407, 11427). Если при этом вращением тела под действием данных сил можно пренебречь с удовлетворяющей нас точностью, тело является материальной точкой.
Иными словами: если в условиях данной задачи размеры тела допустимо не учитывать, такое тело можно считать материальной точкой.
Разумеется, одно и то же тело в разных задачах может быть, а может и не быть материальной точкой.
Распространены следующие определения: "Материальной точкой называется тело, размеры которого пренебрежимо малы сравнительно с его расстоянием до других тел". Или даже: "Материальная точка - это тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке".
Развивая последнюю мысль, логично добавить: материальных точек в природе нет и быть не может, так как любое тело имеет конечные размеры. Получается, что физика тщательно и кропотливо исследует то, что не существует. Разумеется, в физике идеализированные модели встречаются на каждом шагу. Именно поэтому надо твердо представлять, по какому направлению идет идеализация в конкретных понятиях, каковы границы применимости введенных моделей.
Попробуйте исправить приведенные выше определения материальной точки, обобщив особенности движения тел в следующих случаях:
а) скольжение бруска по наклонной плоскости;
б) вращение Земли вокруг Солнца;
в) колебания маленького массивного шарика на длинной невесомой нити (математический маятник).
Подскажем, что в указанных случаях брусок, Земля и шарик являются материальными точками.
Решение:
а) Движение бруска поступательное. Траектории всех его точек, их скорости и ускорения в любой момент времени одинаковы, следовательно, достаточно выяснить особенности движения любой точки бруска. Если брусок сделан из неоднородного по плотности материала, то это не скажется на его движении. Доведем неоднородность до крайности. Пусть вся масса бруска сосредоточена в одной точке: все равно в движении ничего не изменится. Естественно, что эта точка должна быть выбрана так, чтобы брусок не опрокинулся.
Вывод: исследуя поведение тела, движущегося поступательно, можно считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, К этой точке можно прикладывать все силы, действующие на тело. Размеры и формы тела на его движение не влияют.
Заметим, что первое из процитированных определений материальной точки к бруску не применимо: его размеры просто не с чем сравнить.
б) Движение Земли вокруг Солнца не является поступательным, так как Земля вращается вокруг своей оси. Однако совершенно очевидно, что на это вращение Солнце никак не влияет: иоле тяжести Солнца сферически симметрично и достаточно однородно, в пределах пространства, занятого Землей, и сила притяжения Солнцем Земли не создает вращающего момента относительно центра Земли. Движение центра масс Земли не зависит от ее вращения. (Конечно, Земля неоднородна по плотности, и к тому же не является шаром. Поле тяготения Солнца незначительно меняется в пределах части пространства, занятого Землей. По этим причинам, во-первых, отличен от нуля вращательный момент солнечного притяжения, и, во-вторых, возникают солнечные приливы - перемещающиеся с вращением Земли деформации ее верхних слоев. Оба фактора оказывают влияние на суточное вращение Земли, однако это влияние столь незначительно, что астрономические наблюдения за периодом суточного вращения Земли до самого последнего времени являлись основой службы точного (эталонного) времени). Следовательно, если нам нужно рассчитать траекторию какой-то точки Земли в пространстве, мы можем временно забыть о вращении Земли, полагать всю массу сосредоточенной в ее центре, рассчитать движение точки с такой массой, а затем наложить на рассчитанное движение суточное вращение Земли.
Итак, в данном случае ускорения всех точек Земли под действием только притяжения Солнца и других планет (кроме самой Земли) одинаковы и совпадают с величиной ускорения, вычисленной в предположении, что вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Скорость вращения Земли, ее форма, распределение массы по объему на величину этого ускорения не влияют. Этот результат - следствие малого размера Земли сравнительно с ее расстоянием до Солнца.
Высказанные соображения станут еще очевиднее, если применить их к Венере. Венера покрыта плотным слоем облаков, так что детали ее поверхности неразличимы. И никакие наблюдения за движением Венеры вокруг Солнца не могли ответить на вопрос: каково собственное вращение этой планеты?
в) Шарик, совершающий на длинной нити колебания, участвует как в поступательном, так и во вращательном движении (см. рисунок), поворачиваясь вокруг своего центра между крайними положениями на угол $2 \phi$ (в действительности чуть меньше). В отличие от предыдущего случая это вращение неравномерно и вызывается теми же силами, которые создают ускорение поступательного движения шарика. Поэтому безоговорочно пренебрегать вращением нельзя.
Сравним параметры поступательного и вращательного движения. Когда в поступательном движении шарик проходит расстояние $OO_{1} = l \phi$, $l$ - длина нити, то за счет вращения перемещение, например, верхней точки $N$ шарика составляет величину $r \phi$, где $r$ - радиус шарика. Средние скорости обоих движений пропорциональны соответствующим перемещениям, так как зависимость от времени в обоих случаях одинакова - синусоидальная. Поэтому $\frac{v_{в} }{v_{п}} = \frac{r}{l}$, где $v_{в}$ - скорость вращательного движения точки N, vn - скорость поступательного движения шарика. Следует учесть, что скорость $v_{в}^{ \prime}$ вращательного движения любой внутренней точки $N^{ \prime}$ шарика подчиняется соотношению
$v_{в}^{ \prime} < v_{в}$, (1)
так как точка $N$ ближе к оси вращения, чем точка $N$.
Для кинетических энергий поступательного и вращательного движения шарика, учитывая соотношение (1), придется написать уже строгое неравенство
$\frac{T_{в}}{T_{п}} < \left( \frac{v_{в}}{v_{п}} \right )^{2} = \left ( \frac{r}{l} \right )^{2}$. (2)
Но по условию $r/l \ll 1$. Тем более мало $(r/l)^{2}$. Это обстоятельство дает нам право пренебречь и самим вращательным движением шарика, и энергией этого движения, если нас интересуют характеристики поступательного движения, например период. Наше пренебрежение тем более обосновано, а результат тем более точен, чем лучше выполняется последнее неравенство.
Итак, при изучении колебаний математического маятника мы вправе, допуская лишь незначительную погрешность, не учитывать вращение шарика и считать его движение строго поступательным. Всю массу шарика в этом случае можно считать сосредоточенной в одной точке.
Два последних рассмотренных случая допускают следующее обобщение: если в течение некоторого промежутка времени изменение энергии вращательного движения тела значительно меньше изменения энергии поступательного движения, (при этом соотношении между величинами самих энергий может быть каким угодно), то при рассмотрении поступательного движения тела мы вправе в течение этого промежутка времени считать его материальной точкой.
Анализ случаев а), б), в) позволяет сделать следующий вывод.
Если на тело конечных размеров действуют несколько внешних сил, то ускорение центра масс тела (см. задачу 11386) можно вычислить следующим образом: всю массу тела считать сосредоточенной в центре масс, силы - приложенными к этому центру, и затем воспользоваться вторым законом Ньютона (см. задачи 11407, 11427). Если при этом вращением тела под действием данных сил можно пренебречь с удовлетворяющей нас точностью, тело является материальной точкой.
Иными словами: если в условиях данной задачи размеры тела допустимо не учитывать, такое тело можно считать материальной точкой.
Разумеется, одно и то же тело в разных задачах может быть, а может и не быть материальной точкой.
