Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1139
2016-10-20 
При достижении температуры $+910^{ \circ} C$ в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решётки из кубической объёмноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную — железо из $\alpha$-фазы переходит в $\gamma$-фазу. При этом плотность железа уменьшается на $\epsilon \approx 2%$. Найдите отношение постоянных решёток железа в $\alpha -$ и $\gamma$-фазах.
Примечание. Постоянной $a$ кубических решёток называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объёмноцентрированной решётке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентри-рованной — в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.
Решение:
Каждый атом железа, находящийся в одной из вершин куба, одновременно принадлежит восьми элементарным ячейкам, а в центре грани куба — двум ячейкам. Атом же, находящийся в центре куба, принадлежит только одной ячейке. Следовательно, на одну элементарную ячейку кубической объёмноцентрированной решётки приходится $i_{ \alpha} = 8 : 8 + 1 = 2 атома$, а на одну элементарную ячейку кубической гранецентрированной решётки $i_{ \gamma} = 8:8 + 6:2 = 4 атома$. Если плотность железа в $k$-й фазе обозначить через $\rho_{k}$, то концентрация атомов в этой фазе будет равна $n_{k} = N_{k}/V = \rho_{k} N_{A}/A$, где $N_{k}$ — число атомов решётки в $k$-м состоянии, $V$ — объём образца железа в данном состоянии, $N_{A}$ — число Авогадро, $A$ — атомная масса железа. Объём $V_{k}$ кубической элементарной ячейки железа в $k$-м состоянии равен отношению $V$ к числу $N$ элементарных ячеек решётки в данном состоянии: $V_{k} = a_{k}^{3} = \frac{V}{N} = \frac{N_{k}}{n_{k}N} = \frac{i_{k}}{n_{k}}$, так как $N_{k}/N$ — это как раз число атомов, приходящееся на одну ячейку решётки в $k$-м состоянии. По условию задачи, $\epsilon \approx \frac{ \rho_{ \alpha} - \rho_{ \gamma}}{ \rho_{ \alpha}} = 1 - \frac{ \rho_{ \gamma}}{ \rho_{ \alpha}}$. Поэтому отношение постоянных решёток железа в $\alpha -$ и $\gamma -$ фазах равно
$\frac{a_{ \alpha}}{a_{ \gamma}} = \sqrt[3]{ \frac{V_{ \alpha}}{ V_{ \gamma}}} = \sqrt[3]{ \frac{i_{ \alpha} \cdot n_{ \gamma}}{ i_{ \gamma} \cdot n_{ \alpha}}} = \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{ \gamma}}{ 2 \rho_{\alpha}}} \approx \sqrt[3]{ \frac{1 - \epsilon}{2}} \approx 0,788$.
При достижении температуры $+910^{ \circ} C$ в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решётки из кубической объёмноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную — железо из $\alpha$-фазы переходит в $\gamma$-фазу. При этом плотность железа уменьшается на $\epsilon \approx 2%$. Найдите отношение постоянных решёток железа в $\alpha -$ и $\gamma$-фазах.
Примечание. Постоянной $a$ кубических решёток называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объёмноцентрированной решётке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентри-рованной — в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.
Решение:
Каждый атом железа, находящийся в одной из вершин куба, одновременно принадлежит восьми элементарным ячейкам, а в центре грани куба — двум ячейкам. Атом же, находящийся в центре куба, принадлежит только одной ячейке. Следовательно, на одну элементарную ячейку кубической объёмноцентрированной решётки приходится $i_{ \alpha} = 8 : 8 + 1 = 2 атома$, а на одну элементарную ячейку кубической гранецентрированной решётки $i_{ \gamma} = 8:8 + 6:2 = 4 атома$. Если плотность железа в $k$-й фазе обозначить через $\rho_{k}$, то концентрация атомов в этой фазе будет равна $n_{k} = N_{k}/V = \rho_{k} N_{A}/A$, где $N_{k}$ — число атомов решётки в $k$-м состоянии, $V$ — объём образца железа в данном состоянии, $N_{A}$ — число Авогадро, $A$ — атомная масса железа. Объём $V_{k}$ кубической элементарной ячейки железа в $k$-м состоянии равен отношению $V$ к числу $N$ элементарных ячеек решётки в данном состоянии: $V_{k} = a_{k}^{3} = \frac{V}{N} = \frac{N_{k}}{n_{k}N} = \frac{i_{k}}{n_{k}}$, так как $N_{k}/N$ — это как раз число атомов, приходящееся на одну ячейку решётки в $k$-м состоянии. По условию задачи, $\epsilon \approx \frac{ \rho_{ \alpha} - \rho_{ \gamma}}{ \rho_{ \alpha}} = 1 - \frac{ \rho_{ \gamma}}{ \rho_{ \alpha}}$. Поэтому отношение постоянных решёток железа в $\alpha -$ и $\gamma -$ фазах равно
$\frac{a_{ \alpha}}{a_{ \gamma}} = \sqrt[3]{ \frac{V_{ \alpha}}{ V_{ \gamma}}} = \sqrt[3]{ \frac{i_{ \alpha} \cdot n_{ \gamma}}{ i_{ \gamma} \cdot n_{ \alpha}}} = \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{ \gamma}}{ 2 \rho_{\alpha}}} \approx \sqrt[3]{ \frac{1 - \epsilon}{2}} \approx 0,788$.
