Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11389
2019-11-17 
Как правило, в задачах с блоками специально оговаривается или подразумевается, что а) нити абсолютно гибки, нерастяжимы и невесомы; б) блоки вращаются без трения и невесомы. Это обычный пример физической идеализации. Реализовать такие условия можно с весьма хорошим приближением. К примеру, капроновая нить (жилка) диаметром 1 мм выдерживает вес 30 кг, а собственный вес такой нити - около 1 г на метр длины. Блоки можно изготовить из легкого материала и установить на шарикоподшипниках.
А что дают нам указанные идеализации при решении задач?
Решение:
Для ответа на вопрос воспользуемся конкретным примером (см. рисунок).
а) Гибкость нити дает право считать, что тела 1 и 2 движутся строго вертикально. Отсюда и из того, что нить нерастяжима, следует одно из необходимых нам уравнений $\vec{a}_{1} = - \vec{a}_{2}$ (см. задачи 11388, 11393).
Невесомость нити (а следовательно, и равенство нулю ее массы) позволяет ограничиться двумя динамическими уравнениями (в проекциях на вертикальную ось)
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - T_{A}, m_{2}a_{2} = m_{2}g - T_{D}$,
где $T_{A}$ и $T_{D}$ - натяжение нити в точки А и D.
Рассмотрим отрезок нити АВ. Для него следует записать, что $m_{AB}g - T_{B} + T_{A} = m_{AB}a_{1}$, где $m_{AB}$ - масса отрезка. Так как последняя равна нулю, с неизбежностью $T_{B} = T_{A}$. Продвигаясь вдоль всей нити, получаем, что $T_{A} = T_{D}$. В случае же весомой нити пришлось бы дополнить систему следующими уравнениями:
$m_{AB}a_{AB} = m_{AB}g + T_{A} - T_{B}$,
$m_{CD}a_{CD} = m_{CD}g + T_{D} - T_{C}$,
$m_{BC}a_{BC} = T_{C} - T_{B}$,
$a_{AB} = - a_{CD} = - a_{BC} = a_{1} = - a_{2}$,
где $m_{AB}, m_{CD}, m_{BC}$ - массы соответствующих отрезков нити; $a_{AB}, a_{CD}, a_{BC}$ - их ускорения. При составлении уравнений было условно принято, что угловое ускорение блока направлено по стрелке.
Число уравнений в системе существенно увеличилось. К тому же, если грузы движутся, все величины, кроме $m_{BC}, m_{1}, m_{2}$, оказываются зависящими от времени. Очевидно, что решить такую задачу много сложнее. От этой излишней сложности и избавляются, полагая нить невесомой. Результат с хорошей точностью совпадает с истинным для легкой нити. Разумеется, могут встретиться задачи, где учет веса нити обязателен (см. задачу 11403).
б) Еще большие осложнения возникают, если не идеализировать блоки. Пусть блок вращается с трением. Представим для наглядности, что трение велико и что мы хотим привести блок в равномерное вращение в направлении стрелки. Очевидно, что в этом случае должно быть $m_{2} > m_{1}$ и, следовательно, $T_{C} > T_{B}$ (так как $a_{1} = a_{2} = 0$). Последнее соотношение сохранится и при неравномерном вращении блока, лишь бы направление вращения совпадало со стрелкой (блок и нить считаются невесомыми). Переход от неравенства к уравнению, связывающему $T_{C}$ и $T_{B}$, очень сложен, так как требует учета многих обстоятельств (плотности посадки блока на ось, нагрузки на ось, соотношения радиусов оси и блока, коэффициента трения), к тому же полученное уравнение будет весьма приближенным.
Если блок весом, т. е. обладает массой, вращение блока с ускорением снова приведет к тому, что $T_{C} \neq T_{B}$. Пусть блок массивен, тогда, чтобы раскрутить его (т. е. придать ускорение в направлении стрелки), должно быть, естественно, $m_{2} > m_{1}$, откуда следует, что $T_{C} > T_{B}$ (так как $a_{1} = - a_{2}$ ). Здесь переход от неравенства к уравнению проще, чем в предыдущем случае, и может быть выполнен точно и строго, если известны форма блока и плотность материала, из которого он выполнен.
На стадии ознакомления с принципами применения в коннрет-ных ситуациях основных законов физики нет никакой необходимости во всех указанных уточнениях, тем более, что за громоздкими расчетами легко потерять суть дела. И поскольку, как уже говорилось, идеализированные условия осуществляются часто, легко и с хорошей точностью, именно этим мы и ограничиваемся.
Как правило, в задачах с блоками специально оговаривается или подразумевается, что а) нити абсолютно гибки, нерастяжимы и невесомы; б) блоки вращаются без трения и невесомы. Это обычный пример физической идеализации. Реализовать такие условия можно с весьма хорошим приближением. К примеру, капроновая нить (жилка) диаметром 1 мм выдерживает вес 30 кг, а собственный вес такой нити - около 1 г на метр длины. Блоки можно изготовить из легкого материала и установить на шарикоподшипниках.
А что дают нам указанные идеализации при решении задач?
Решение:
Для ответа на вопрос воспользуемся конкретным примером (см. рисунок).
а) Гибкость нити дает право считать, что тела 1 и 2 движутся строго вертикально. Отсюда и из того, что нить нерастяжима, следует одно из необходимых нам уравнений $\vec{a}_{1} = - \vec{a}_{2}$ (см. задачи 11388, 11393).
Невесомость нити (а следовательно, и равенство нулю ее массы) позволяет ограничиться двумя динамическими уравнениями (в проекциях на вертикальную ось)
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - T_{A}, m_{2}a_{2} = m_{2}g - T_{D}$,
где $T_{A}$ и $T_{D}$ - натяжение нити в точки А и D.
Рассмотрим отрезок нити АВ. Для него следует записать, что $m_{AB}g - T_{B} + T_{A} = m_{AB}a_{1}$, где $m_{AB}$ - масса отрезка. Так как последняя равна нулю, с неизбежностью $T_{B} = T_{A}$. Продвигаясь вдоль всей нити, получаем, что $T_{A} = T_{D}$. В случае же весомой нити пришлось бы дополнить систему следующими уравнениями:
$m_{AB}a_{AB} = m_{AB}g + T_{A} - T_{B}$,
$m_{CD}a_{CD} = m_{CD}g + T_{D} - T_{C}$,
$m_{BC}a_{BC} = T_{C} - T_{B}$,
$a_{AB} = - a_{CD} = - a_{BC} = a_{1} = - a_{2}$,
где $m_{AB}, m_{CD}, m_{BC}$ - массы соответствующих отрезков нити; $a_{AB}, a_{CD}, a_{BC}$ - их ускорения. При составлении уравнений было условно принято, что угловое ускорение блока направлено по стрелке.
Число уравнений в системе существенно увеличилось. К тому же, если грузы движутся, все величины, кроме $m_{BC}, m_{1}, m_{2}$, оказываются зависящими от времени. Очевидно, что решить такую задачу много сложнее. От этой излишней сложности и избавляются, полагая нить невесомой. Результат с хорошей точностью совпадает с истинным для легкой нити. Разумеется, могут встретиться задачи, где учет веса нити обязателен (см. задачу 11403).
б) Еще большие осложнения возникают, если не идеализировать блоки. Пусть блок вращается с трением. Представим для наглядности, что трение велико и что мы хотим привести блок в равномерное вращение в направлении стрелки. Очевидно, что в этом случае должно быть $m_{2} > m_{1}$ и, следовательно, $T_{C} > T_{B}$ (так как $a_{1} = a_{2} = 0$). Последнее соотношение сохранится и при неравномерном вращении блока, лишь бы направление вращения совпадало со стрелкой (блок и нить считаются невесомыми). Переход от неравенства к уравнению, связывающему $T_{C}$ и $T_{B}$, очень сложен, так как требует учета многих обстоятельств (плотности посадки блока на ось, нагрузки на ось, соотношения радиусов оси и блока, коэффициента трения), к тому же полученное уравнение будет весьма приближенным.
Если блок весом, т. е. обладает массой, вращение блока с ускорением снова приведет к тому, что $T_{C} \neq T_{B}$. Пусть блок массивен, тогда, чтобы раскрутить его (т. е. придать ускорение в направлении стрелки), должно быть, естественно, $m_{2} > m_{1}$, откуда следует, что $T_{C} > T_{B}$ (так как $a_{1} = - a_{2}$ ). Здесь переход от неравенства к уравнению проще, чем в предыдущем случае, и может быть выполнен точно и строго, если известны форма блока и плотность материала, из которого он выполнен.
На стадии ознакомления с принципами применения в коннрет-ных ситуациях основных законов физики нет никакой необходимости во всех указанных уточнениях, тем более, что за громоздкими расчетами легко потерять суть дела. И поскольку, как уже говорилось, идеализированные условия осуществляются часто, легко и с хорошей точностью, именно этим мы и ограничиваемся.
