Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11387
2019-11-17 
Найти положение центра тяжести тела, представляющего собой два массивных шарика, соединенных невесомым стержнем. Длина стержня сравнима с диаметром Земли (рис. а).
Решение:
Широко распространено следующее определение:
"Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей всех элементарных сил тяжести, действующих на данное тело". В этом определении есть серьезная ошибка: у равнодействующей нет точки приложения, она имеет лишь линию действия.
Как известно, равнодействующей силою для системы сил $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}, \cdots$, приложенных к телу и сообщающих ему ускорение $\vec{a}$ (в том числе $a = 0$), называется сила $\vec{F}$, сообщающая этому телу то же самое ускорение $\vec{a}$. Нахождение равнодействующей основывается на следующем экспериментальном факте (рис. б).
Пусть на некоторое тело в плоскости чертежа действуют силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Построим их векторную сумму $\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$. Проведем линии действия этих сил и через точку пересечения $O$ проведем линию $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ вдоль направления $\vec{F}$. Тогда, как показывает опыт, сила $\vec{F}$, действующая по линии $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$, эквивалентна по действию обеим силам $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$, где бы вдоль прямой $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ она ни была приложена. Таким образом, если для реальных сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ нередко можно указать точки их приложения (не всегда!), для построенной нами расчетным путем равнодействующей $\vec{F}$ такой точки нет: подойдут и точка $O$, и точки $O^{ \prime}, O^{ \prime \prime}$ и т. д.
Определение центра тяжести в свете сказанного можно дать в следующем виде.
Найдем по правилу сложения параллельных сил линию действия равнодействующей всех элементарных сил тяжести, приложенных к телу. Центром тяжести будет называться точка $O$, через которую эта линия проходит при любом положении тела (рис. в), если эта точка существует.
Легко сформулировать (труднее доказать) условие существования центра тяжести - однородность гравитационного поля в области пространства, занятой телом. В земных условиях это требование легко реализуется для тел, размеры которых много меньше размеров Земли.
В случае, рассматриваемом в этой задаче, указанное условие не выполняется. Рис. г, где найдены три линии действия $L_{1}, l_{2}, L_{3}$ для трех положений нашей "гантели", подтверждает, что общей точки у трех линий действия нет. Разные положения тела получены его поворотом относительно центра масс $O$ (см. задачу 11386).
Примечание. Аккуратный читатель заметит, что у названных трех линий действия $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ есть-таки общая точка пересечения - центр Земли. Это автоматическое следствие того, что поле тяготения Земли - центральное (т. е., что Земля сферически симметрична). Но в центре Земли будут пересекаться линии действия, принадлежащие любым телам любых размеров, следовательно, характеристикой тел эта точка не является. Следует договориться исключить ее из рассмотрения.
Найти положение центра тяжести тела, представляющего собой два массивных шарика, соединенных невесомым стержнем. Длина стержня сравнима с диаметром Земли (рис. а).
Решение:
Широко распространено следующее определение:
"Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей всех элементарных сил тяжести, действующих на данное тело". В этом определении есть серьезная ошибка: у равнодействующей нет точки приложения, она имеет лишь линию действия.
Как известно, равнодействующей силою для системы сил $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}, \cdots$, приложенных к телу и сообщающих ему ускорение $\vec{a}$ (в том числе $a = 0$), называется сила $\vec{F}$, сообщающая этому телу то же самое ускорение $\vec{a}$. Нахождение равнодействующей основывается на следующем экспериментальном факте (рис. б).
Пусть на некоторое тело в плоскости чертежа действуют силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Построим их векторную сумму $\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$. Проведем линии действия этих сил и через точку пересечения $O$ проведем линию $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ вдоль направления $\vec{F}$. Тогда, как показывает опыт, сила $\vec{F}$, действующая по линии $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$, эквивалентна по действию обеим силам $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$, где бы вдоль прямой $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ она ни была приложена. Таким образом, если для реальных сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ нередко можно указать точки их приложения (не всегда!), для построенной нами расчетным путем равнодействующей $\vec{F}$ такой точки нет: подойдут и точка $O$, и точки $O^{ \prime}, O^{ \prime \prime}$ и т. д.
Определение центра тяжести в свете сказанного можно дать в следующем виде.
Найдем по правилу сложения параллельных сил линию действия равнодействующей всех элементарных сил тяжести, приложенных к телу. Центром тяжести будет называться точка $O$, через которую эта линия проходит при любом положении тела (рис. в), если эта точка существует.
Легко сформулировать (труднее доказать) условие существования центра тяжести - однородность гравитационного поля в области пространства, занятой телом. В земных условиях это требование легко реализуется для тел, размеры которых много меньше размеров Земли.
В случае, рассматриваемом в этой задаче, указанное условие не выполняется. Рис. г, где найдены три линии действия $L_{1}, l_{2}, L_{3}$ для трех положений нашей "гантели", подтверждает, что общей точки у трех линий действия нет. Разные положения тела получены его поворотом относительно центра масс $O$ (см. задачу 11386).
Примечание. Аккуратный читатель заметит, что у названных трех линий действия $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ есть-таки общая точка пересечения - центр Земли. Это автоматическое следствие того, что поле тяготения Земли - центральное (т. е., что Земля сферически симметрична). Но в центре Земли будут пересекаться линии действия, принадлежащие любым телам любых размеров, следовательно, характеристикой тел эта точка не является. Следует договориться исключить ее из рассмотрения.
