Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11386
2019-11-17 
Сто шаров весом 1, 2, 3, $\cdots$, 100 кГ расположены последовательно на прямом невесомом стержне, причем расстояния между центрами соседних шаров одинаковы (см. рис. а) и равны $a$.
Найти центр тяжести такой системы.
Решение:
1-й способ. Несмотря на внешнюю сложность задачу можно решить вообще без вычислений.
Рассмотрим "треугольную" фигуру, сложенную из правильных шестиугольников, в каждой стороне которой содержится $N$ шестиугольников (см. рис. б). Центр тяжести $P$ такой фигуры обязан лежать на точке пересечения трех осей симметрии $O_{1}O_{1}^{ \prime}, O_{2}O_{2}^{ \prime}, O_{3}O_{3}^{ \prime}$, т. е. его положение совпадает с центром тяжести правильного треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$, вершины которого лежат в центрах крайних шестиугольников.
Пусть вес каждого шестиугольника 1 кГ, $N = 100$, а направление силы тяжести совпадает с направлением вектора $g$ на рисунке. Найдем сумму моментов всех сил тяжести относительно точки $P$. Для этого можно, в частности, перенести все силы вдоль по линиям их действия до оси $O_{1}O_{1}^{ \prime}$. В результате, если сторона шестгрггольника равна $2a/3$, получим то же самое распределение сил, что и в случае стержня с шарами (рис. в). Следовательно, центр тяжести фигуры так же удален от точки $O_{1}$, как центр тяжести стержня с шарами от центра первого шара. Так как $O_{1}P = \frac{2}{3} O_{1}A$, искомый центр тяжести совпадает с центром 67-го шара.
2-й способ.
Полезно знать, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. Однако понятие "центр масс" более общее; в частности, центр масс есть у любого тела, в то время как центр тяжести - лишь у тел, находящихся в однородном поле тяжести (см. задачу 11387).
Определяется центр масс так. Пусть дано некоторое тело массой $M$. Разобьем его мысленно на малые элементы с массами $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \cdots, m_{i}$. Пусть координаты соответствующих элементов в некоторой системе отсчета равны $x_{1}, y_{1}, z_{1}; x_{2}, y{2}, z_{2}; \cdots ; x_{i}m y_{i}, z_{i}$. Вычислим следующие величины:
$X = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \cdots + m_{i}x_{i} }{m_{1} + m_{2} + \cdots m_{i} } = \frac{ \sum_{i} m_{i}x_{i} }{M}$;
$Y = \frac{ \sum_{i}m_{i}y_{i} }{M}; Z = \frac{ \sum_{i} m_{i}z_{i} }{M}$.
Точка с координатами $X, Y, Z$ и называется центром масс.
В школе часто пользуются следующим приемом для определения положения центра тяжести. Исследуемое тело разбивается на несколько простых по форме частей, положения центров тяжести ($O_{1}$ и $O_{2}$ на рис. г) которых заранее известны, например из соображений симметрии. Центр тяжести $O$ всего тела отыскивается потом на отрезке $O_{1}O_{2}$, на расстояниях от точек $O_{1}$ и $O_{2}$, обратно пропорциональных весам соответствующих частей. Легко доказать, что такие действия непосредственно вытекают из приведенных выше формул.
Вернемся к исходной задаче. Расположим стержень по оси $x$ так, чтобы центр первого шара находился от начала координат на расстоянии $x_{1} = a$ ($a$ - расстояние между центрами соседних шаров). Тогда центр второго шара будет иметь координату $x_{2} = 2a$ и т. д. Очевидно, что $Y = Z = 0$ (так как все $y_{i} = 0, z_{i} = 0$),
$X = \frac{ \sum_{i} m_{i}x_{i} }{M} = \frac{a \cdot 1^{2} + a \cdot 2^{2} + \cdots + a \cdot 100^{2} }{1 + 2 + \cdots + 100}$.
Известно, что $1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. Кроме того, $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$. Тогда находим что $X = 67a$, т. е. центр масс совпадает с центром 67-го шара.
Сто шаров весом 1, 2, 3, $\cdots$, 100 кГ расположены последовательно на прямом невесомом стержне, причем расстояния между центрами соседних шаров одинаковы (см. рис. а) и равны $a$.
Найти центр тяжести такой системы.
Решение:
1-й способ. Несмотря на внешнюю сложность задачу можно решить вообще без вычислений.
Рассмотрим "треугольную" фигуру, сложенную из правильных шестиугольников, в каждой стороне которой содержится $N$ шестиугольников (см. рис. б). Центр тяжести $P$ такой фигуры обязан лежать на точке пересечения трех осей симметрии $O_{1}O_{1}^{ \prime}, O_{2}O_{2}^{ \prime}, O_{3}O_{3}^{ \prime}$, т. е. его положение совпадает с центром тяжести правильного треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$, вершины которого лежат в центрах крайних шестиугольников.
Пусть вес каждого шестиугольника 1 кГ, $N = 100$, а направление силы тяжести совпадает с направлением вектора $g$ на рисунке. Найдем сумму моментов всех сил тяжести относительно точки $P$. Для этого можно, в частности, перенести все силы вдоль по линиям их действия до оси $O_{1}O_{1}^{ \prime}$. В результате, если сторона шестгрггольника равна $2a/3$, получим то же самое распределение сил, что и в случае стержня с шарами (рис. в). Следовательно, центр тяжести фигуры так же удален от точки $O_{1}$, как центр тяжести стержня с шарами от центра первого шара. Так как $O_{1}P = \frac{2}{3} O_{1}A$, искомый центр тяжести совпадает с центром 67-го шара.
2-й способ.
Полезно знать, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. Однако понятие "центр масс" более общее; в частности, центр масс есть у любого тела, в то время как центр тяжести - лишь у тел, находящихся в однородном поле тяжести (см. задачу 11387).
Определяется центр масс так. Пусть дано некоторое тело массой $M$. Разобьем его мысленно на малые элементы с массами $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \cdots, m_{i}$. Пусть координаты соответствующих элементов в некоторой системе отсчета равны $x_{1}, y_{1}, z_{1}; x_{2}, y{2}, z_{2}; \cdots ; x_{i}m y_{i}, z_{i}$. Вычислим следующие величины:
$X = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \cdots + m_{i}x_{i} }{m_{1} + m_{2} + \cdots m_{i} } = \frac{ \sum_{i} m_{i}x_{i} }{M}$;
$Y = \frac{ \sum_{i}m_{i}y_{i} }{M}; Z = \frac{ \sum_{i} m_{i}z_{i} }{M}$.
Точка с координатами $X, Y, Z$ и называется центром масс.
В школе часто пользуются следующим приемом для определения положения центра тяжести. Исследуемое тело разбивается на несколько простых по форме частей, положения центров тяжести ($O_{1}$ и $O_{2}$ на рис. г) которых заранее известны, например из соображений симметрии. Центр тяжести $O$ всего тела отыскивается потом на отрезке $O_{1}O_{2}$, на расстояниях от точек $O_{1}$ и $O_{2}$, обратно пропорциональных весам соответствующих частей. Легко доказать, что такие действия непосредственно вытекают из приведенных выше формул.
Вернемся к исходной задаче. Расположим стержень по оси $x$ так, чтобы центр первого шара находился от начала координат на расстоянии $x_{1} = a$ ($a$ - расстояние между центрами соседних шаров). Тогда центр второго шара будет иметь координату $x_{2} = 2a$ и т. д. Очевидно, что $Y = Z = 0$ (так как все $y_{i} = 0, z_{i} = 0$),
$X = \frac{ \sum_{i} m_{i}x_{i} }{M} = \frac{a \cdot 1^{2} + a \cdot 2^{2} + \cdots + a \cdot 100^{2} }{1 + 2 + \cdots + 100}$.
Известно, что $1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. Кроме того, $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$. Тогда находим что $X = 67a$, т. е. центр масс совпадает с центром 67-го шара.
