Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11383
2019-11-17 
На наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$ находится брусок весом $\vec{G}$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $f$. Какую силу $\vec{F}$ следует приложить к бруску, чтобы он был неподвижен?
Решение:
Введем систему координат $oxy$, так что ось $ox$ параллельна наклонной плоскости, ось $oy$ перпендикулярна к ней, причем обе оси лежат в вертикальной плоскости.
На брусок действуют силы: сила тяжести $\vec{G}$, реакция опоры $\vec{Q}$, удерживающая сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Направление последней может быть и противоположным указанному на рис. а. Так как брусок неподвижен, то
$\vec{G} + \vec{Q} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$, (1)
При этом обязательно
$| F_{тр} | \leq fQ$, (2)
а реакция $\vec{Q}$ направлена вверх от наклонной плоскости. Проецируя равенство (1) на ось $oy$, получаем, что $G \cos \alpha + Q + F_{y} = 0$, где $Q \geq 0$ или
$F_{y} \leq G \cos \alpha$, (3)
$Q = G \cos \alpha - F_{y}$. (4)
Проекция на ось $ox$ приводит к соотношению $-G \sin \alpha + F_{x} + F_{тр} = 0$, из которого с учетом (2) и (4) следует, что
$| - G \sin \alpha + F_{x} | \leq f (G \cos \alpha - F_{y})$.
Последнее неравенство имеет два решения: 1) если $-G \sin \alpha + F_{x} \geq 0$, то
$f(G \cos \alpha - F_{y}) + G \sin \alpha \geq F_{x} \geq G \sin \alpha$; (5)
2) если $- G \sin \alpha + F_{x} \leq 0$, то
$G \sin \alpha \geq F_{x} f(F_{y} - G \cos \alpha) + G \sin \alpha$. (6)
Таким образом, указанному в задаче условию удовлетворяет любая сила $F$, составляющие которой подчиняются соотношениям (5) и (3) или (6) и (3).
Для наглядности полученные решения иллюстрируются графически (рис. б соответствует случаю $\sin \alpha > f \cos \alpha$, рис. в - $\sin \alpha < f \cos \alpha$). Любая сила, для которой изображающий ее вектор, начинаясь в начале координат, оканчивается в точке, принадлежащей заштрихованной области, удерживает брусок в состоянии равновесия.
Указанные на чертежах прямые описываются уравнениями
1. $F_{x} = G \sin \alpha$.
2. $F_{x} = G \sin \alpha + fG \cos \alpha - fF_{y}$.
3. $F_{x} = G \sin \alpha - fG \cos \alpha + fF_{y}$.
4. $F_{y} = G \cos \alpha$.
Минимальные абсолютные значения искомых сил равны величинам $fG ( \sin \alpha - f \cos \alpha )$ в первом и нулю - во втором случаях.
Сравните результат с ответом на предыдущую задачу. При $f \rightarrow 0$ угол при вершине заштрихованной зоны также стремится к нулю, а сама зона в пределе вырождается в полубесконечный отрезок. Таким образом, нами получено решение, более общее, чем в задаче 11382, однако за счет более сложных выкладок.
Можно ли считать такой ответ полностью исчерпывающим явление? Нет, это лишь следующая модель, более сложная и точная сравнительно с задачей 11382, но по-прежнему идеализированная. Ведь использованное соотношение для сухого трения скольжения $F_{тр} = fQ$ является идеализированным соотношением, справедливым лишь приблизительно в ограниченных пределах изменения величины нормального давления $Q$ И т.д.
И еще одно замечание. Пусть вектор, изображающий действующую на тело внешнюю силу $\vec{F}$, заканчивается в точности на границе заштрихованной области. Как будет вести себя тело? Останется неподвижным? Будет двигаться? Если отвечать на такой вопрос в рамках нашей модели, то придется сказать, что оба ответа одновременно правильны. Тело находится в неустойчивом состоянии, когда сколь угодно малые воздействия (например, колебания наклонной плоскости, токи воздуха, даже броуновское движение молекул) будут то сдвигать его с места, то останавливать. К реальному ходу событий данное утверждение не относится: из-за неизбежных погрешностей в величине и направлении приложенной силы нам никогда не попасть концом вектора на линию. Да и сами линии в реальном опыте превратятся в полосы "неопределенности", тем более узкие, чем точнее нам известны значения величин $f$ и $\alpha$. Знать же эти величины абсолютно точно принципиально невозможно.
На наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$ находится брусок весом $\vec{G}$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $f$. Какую силу $\vec{F}$ следует приложить к бруску, чтобы он был неподвижен?
Решение:
Введем систему координат $oxy$, так что ось $ox$ параллельна наклонной плоскости, ось $oy$ перпендикулярна к ней, причем обе оси лежат в вертикальной плоскости.
На брусок действуют силы: сила тяжести $\vec{G}$, реакция опоры $\vec{Q}$, удерживающая сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Направление последней может быть и противоположным указанному на рис. а. Так как брусок неподвижен, то
$\vec{G} + \vec{Q} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$, (1)
При этом обязательно
$| F_{тр} | \leq fQ$, (2)
а реакция $\vec{Q}$ направлена вверх от наклонной плоскости. Проецируя равенство (1) на ось $oy$, получаем, что $G \cos \alpha + Q + F_{y} = 0$, где $Q \geq 0$ или
$F_{y} \leq G \cos \alpha$, (3)
$Q = G \cos \alpha - F_{y}$. (4)
Проекция на ось $ox$ приводит к соотношению $-G \sin \alpha + F_{x} + F_{тр} = 0$, из которого с учетом (2) и (4) следует, что
$| - G \sin \alpha + F_{x} | \leq f (G \cos \alpha - F_{y})$.
Последнее неравенство имеет два решения: 1) если $-G \sin \alpha + F_{x} \geq 0$, то
$f(G \cos \alpha - F_{y}) + G \sin \alpha \geq F_{x} \geq G \sin \alpha$; (5)
2) если $- G \sin \alpha + F_{x} \leq 0$, то
$G \sin \alpha \geq F_{x} f(F_{y} - G \cos \alpha) + G \sin \alpha$. (6)
Таким образом, указанному в задаче условию удовлетворяет любая сила $F$, составляющие которой подчиняются соотношениям (5) и (3) или (6) и (3).
Для наглядности полученные решения иллюстрируются графически (рис. б соответствует случаю $\sin \alpha > f \cos \alpha$, рис. в - $\sin \alpha < f \cos \alpha$). Любая сила, для которой изображающий ее вектор, начинаясь в начале координат, оканчивается в точке, принадлежащей заштрихованной области, удерживает брусок в состоянии равновесия.
Указанные на чертежах прямые описываются уравнениями
1. $F_{x} = G \sin \alpha$.
2. $F_{x} = G \sin \alpha + fG \cos \alpha - fF_{y}$.
3. $F_{x} = G \sin \alpha - fG \cos \alpha + fF_{y}$.
4. $F_{y} = G \cos \alpha$.
Минимальные абсолютные значения искомых сил равны величинам $fG ( \sin \alpha - f \cos \alpha )$ в первом и нулю - во втором случаях.
Сравните результат с ответом на предыдущую задачу. При $f \rightarrow 0$ угол при вершине заштрихованной зоны также стремится к нулю, а сама зона в пределе вырождается в полубесконечный отрезок. Таким образом, нами получено решение, более общее, чем в задаче 11382, однако за счет более сложных выкладок.
Можно ли считать такой ответ полностью исчерпывающим явление? Нет, это лишь следующая модель, более сложная и точная сравнительно с задачей 11382, но по-прежнему идеализированная. Ведь использованное соотношение для сухого трения скольжения $F_{тр} = fQ$ является идеализированным соотношением, справедливым лишь приблизительно в ограниченных пределах изменения величины нормального давления $Q$ И т.д.
И еще одно замечание. Пусть вектор, изображающий действующую на тело внешнюю силу $\vec{F}$, заканчивается в точности на границе заштрихованной области. Как будет вести себя тело? Останется неподвижным? Будет двигаться? Если отвечать на такой вопрос в рамках нашей модели, то придется сказать, что оба ответа одновременно правильны. Тело находится в неустойчивом состоянии, когда сколь угодно малые воздействия (например, колебания наклонной плоскости, токи воздуха, даже броуновское движение молекул) будут то сдвигать его с места, то останавливать. К реальному ходу событий данное утверждение не относится: из-за неизбежных погрешностей в величине и направлении приложенной силы нам никогда не попасть концом вектора на линию. Да и сами линии в реальном опыте превратятся в полосы "неопределенности", тем более узкие, чем точнее нам известны значения величин $f$ и $\alpha$. Знать же эти величины абсолютно точно принципиально невозможно.
