Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11379
2019-11-17 
Зенитное орудие производит выстрелы во всевозможных направлениях. Начальная скорость снарядов $v_{0}$. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия.
Решение:
Из решения задачи 11378 следует, что при заданной начальной скорости снарядов $v_{0}$ в точку с координатами $S$ и $H$, такими, что
$v_{0} = \sqrt{gH + g \sqrt{H^{2} + S^{2}}}$, (1)
можно попасть только с помощью определенного выстрела, наклонив ствол к горизонту так, чтобы $tg \alpha = \frac{H + \sqrt{ H^{2} + S^{2}}}{S}$.
Если в том же или любом другом направлении из орудия произвести выстрел с начальной скоростью $v < v_{0}$, снаряд в эту точку не попадет. Следовательно, указанная точка ($S, H$) лежит на искомой граничной поверхности.
Очевидно, что искомая поверхность симметрична относительно вертикальной оси выбранной системы отсчета. Поэтому достаточно найти уравнение линии пересечения этой поверхности с любой вертикальной плоскостью, проходящей через орудийную позицию.
Координаты точек, в каждую из которых можно попасть лишь единственным выстрелом, удовлетворяют соотношению (1). Рассмотрим это соотношение как уравнение, связывающее координаты $S$ и $H$, и преобразуем его к виду
$H = \frac{v_{0}^{2}}{2g} - \frac{gS^{2}}{2v_{0}^{2}}$. (2)
Таким образом, искомая линия является параболой, которая описывается уравнением (2), а искомая граничная поверхность - параболоидом вращения (см. рис. а). Как указывалось в предыдущей задаче, любая траектория (кроме траектории при $\alpha = \pi /2$) касается найденной параболы не вершиной, но какой-то боковой точкой.
Получим одно интересное следствие из решения задачи. Построим поверхность, на которой расположены вершины траекторий всех снарядов.
Вершина траектории, соответствующей начальной скорости $v_{0}$ и углу $\alpha$, расположена, как известно, в точке с координатами
$S = \frac{v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}; H = \frac{ v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Исключая из этих уравнений угол $\alpha$, получим, что
$H^{2} + \frac{S^{2}}{4} - \frac{v_{0}^{2} }{2g} H = 0$.
Линия, описываемая этим уравнением, симметрична относительно координатной оси $H$, проходит через начало координат и пересекает ось ординат в точке $H = \frac{v_{0}^{2} }{2g}$. Такая линия называется эллипсом (см. рис. б).
Искомая поверхность является эллипсоидом вращения.
Эллипсоид и параболоид вращения делят пространство на три области. В точки, расположенные вне параболоида вращения по отношению к орудию, при данной начальной скорости попасть нельзя. Любую неподвижную цель, находящуюся внутри эллипсоида, можно поразить снарядами как при восходящем, так и при нисходящем их движении. В цели, расположенные между параболоидом и эллипсоидом, снаряды попадают только при нисходящем полете.
Зенитное орудие производит выстрелы во всевозможных направлениях. Начальная скорость снарядов $v_{0}$. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия.
Решение:
Из решения задачи 11378 следует, что при заданной начальной скорости снарядов $v_{0}$ в точку с координатами $S$ и $H$, такими, что
$v_{0} = \sqrt{gH + g \sqrt{H^{2} + S^{2}}}$, (1)
можно попасть только с помощью определенного выстрела, наклонив ствол к горизонту так, чтобы $tg \alpha = \frac{H + \sqrt{ H^{2} + S^{2}}}{S}$.
Если в том же или любом другом направлении из орудия произвести выстрел с начальной скоростью $v < v_{0}$, снаряд в эту точку не попадет. Следовательно, указанная точка ($S, H$) лежит на искомой граничной поверхности.
Очевидно, что искомая поверхность симметрична относительно вертикальной оси выбранной системы отсчета. Поэтому достаточно найти уравнение линии пересечения этой поверхности с любой вертикальной плоскостью, проходящей через орудийную позицию.
Координаты точек, в каждую из которых можно попасть лишь единственным выстрелом, удовлетворяют соотношению (1). Рассмотрим это соотношение как уравнение, связывающее координаты $S$ и $H$, и преобразуем его к виду
$H = \frac{v_{0}^{2}}{2g} - \frac{gS^{2}}{2v_{0}^{2}}$. (2)
Таким образом, искомая линия является параболой, которая описывается уравнением (2), а искомая граничная поверхность - параболоидом вращения (см. рис. а). Как указывалось в предыдущей задаче, любая траектория (кроме траектории при $\alpha = \pi /2$) касается найденной параболы не вершиной, но какой-то боковой точкой.
Получим одно интересное следствие из решения задачи. Построим поверхность, на которой расположены вершины траекторий всех снарядов.
Вершина траектории, соответствующей начальной скорости $v_{0}$ и углу $\alpha$, расположена, как известно, в точке с координатами
$S = \frac{v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}; H = \frac{ v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Исключая из этих уравнений угол $\alpha$, получим, что
$H^{2} + \frac{S^{2}}{4} - \frac{v_{0}^{2} }{2g} H = 0$.
Линия, описываемая этим уравнением, симметрична относительно координатной оси $H$, проходит через начало координат и пересекает ось ординат в точке $H = \frac{v_{0}^{2} }{2g}$. Такая линия называется эллипсом (см. рис. б).
Искомая поверхность является эллипсоидом вращения.
Эллипсоид и параболоид вращения делят пространство на три области. В точки, расположенные вне параболоида вращения по отношению к орудию, при данной начальной скорости попасть нельзя. Любую неподвижную цель, находящуюся внутри эллипсоида, можно поразить снарядами как при восходящем, так и при нисходящем их движении. В цели, расположенные между параболоидом и эллипсоидом, снаряды попадают только при нисходящем полете.
