Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11378
2019-11-17 
Необходимо поразить неподвижную цель, расположенную на расстоянии $S$ от орудия по горизонтали, на высоте $H$ над поверхностью Земли. Какова наименьшая скорость снаряда в момент выстрела $v_{0}, при которой эта задача выполнима? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Укажем сначала на очень распространенную ошибку в рассуждениях: говорят, что траектории, вершина которой совпадает с положением дели, соответствует наименьшее значение начальной скорости снаряда. Основанные на этом расчеты приводят к выражению
$v_{0}^{ \prime} = \frac{ \sqrt{2gH (2H^{2} + S^{2})}}{2H}$.
Это утверждение кажется на первый взгляд справедливым; однако оно не только бездоказательно, но и неверно.
Начало системы отсчета поместим в точку, где находится орудие, оси системы направим горизонтально и вертикально. Если выстрел произведен под уголом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$, а траектория снаряда проходит через точку с координатами $S$ и $H$, то справедливо соотношение
$H = S tg \alpha - gS^{2}/2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Найдем отсюда $v_{0}^{2}$:
$v_{0}^{2} = \frac{gS^{2}}{2} \frac{1}{(S tg \alpha - H) \cos^{2} \alpha }$.
Задача теперь состоит в подборе такого значения $\alpha$, при котором величина $v_{0}^{2}$ минимальна.
Для удобства записи формул введем обозначения: $tg \alpha = z, \frac{H}{S} = k$. Тогда
$v_{0}^{2} = \frac{gS}{2} \frac{1 + z^{2} }{z - k }, z > k$.
Преобразуем величину $\frac{1 + z^{2}}{z - k}$, разделив числитель последнего выражения на знаменатель. В результате получим, что
$\frac{1 + z^{2}}{z - k} = 2k + \sqrt{k^{2} + 1 } \left ( \frac{z - k}{ \sqrt{k^{2} + 1 } } + \frac{ \sqrt{k^{2} + 1 } }{z - k} \right )$.
Сопоставляя это выражение с классическим неравенством (Многие школьные задачи на максимум или минимум некоторой величины используют тот факт, что функция $x + 1/x$, где $x > 0$, имеет минимальное значение при $x = 1$. Действительно, $x + 1/x = x - 2 + 1/x + 2 = ( \sqrt{x} - 1/ \sqrt{x} )^{2} + 2$; так как $( \sqrt{x} - 1/ \sqrt{x} )^{2} \geq 0$ при $x > 0$, то $x + 1/x \geq 2$, минимальное же значение достигается при $\sqrt{x} = 1/ \sqrt{x}$, т. е. при $x = 1$.) $x + \frac{1}{x} \geq 2$ при $x > 0$, приходим к выводу, что минимум $v_{0}$ имеет место при выполнении условия
$tg \alpha_{0} = z = k + \sqrt{k^{2} + 1} = \frac{H + \sqrt{H^{2} + S^{2} } }{S}$
и определяется выражением $v_{0min} = \sqrt{gH + g \sqrt{H^{2} + S^{2}}}$. Нетрудно видеть, что $v_{0min} < v_{0}^{ \prime}$.
Интересно отметить, что траектория снаряда, соответствующая найденным величинам $\alpha_{0}$ и $v_{0min}$, имеет вид, указанный на рисунке сплошной линией. Вершина траектории расположена по горизонтали ближе к орудию, чем цель, и находится выше цели. Снаряд попадает в цель на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на чертеже изображена траектория, вершина которой совпадает с положением цели.
Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что траектория построена правильно.
Необходимо поразить неподвижную цель, расположенную на расстоянии $S$ от орудия по горизонтали, на высоте $H$ над поверхностью Земли. Какова наименьшая скорость снаряда в момент выстрела $v_{0}, при которой эта задача выполнима? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Укажем сначала на очень распространенную ошибку в рассуждениях: говорят, что траектории, вершина которой совпадает с положением дели, соответствует наименьшее значение начальной скорости снаряда. Основанные на этом расчеты приводят к выражению
$v_{0}^{ \prime} = \frac{ \sqrt{2gH (2H^{2} + S^{2})}}{2H}$.
Это утверждение кажется на первый взгляд справедливым; однако оно не только бездоказательно, но и неверно.
Начало системы отсчета поместим в точку, где находится орудие, оси системы направим горизонтально и вертикально. Если выстрел произведен под уголом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$, а траектория снаряда проходит через точку с координатами $S$ и $H$, то справедливо соотношение
$H = S tg \alpha - gS^{2}/2v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha$.
Найдем отсюда $v_{0}^{2}$:
$v_{0}^{2} = \frac{gS^{2}}{2} \frac{1}{(S tg \alpha - H) \cos^{2} \alpha }$.
Задача теперь состоит в подборе такого значения $\alpha$, при котором величина $v_{0}^{2}$ минимальна.
Для удобства записи формул введем обозначения: $tg \alpha = z, \frac{H}{S} = k$. Тогда
$v_{0}^{2} = \frac{gS}{2} \frac{1 + z^{2} }{z - k }, z > k$.
Преобразуем величину $\frac{1 + z^{2}}{z - k}$, разделив числитель последнего выражения на знаменатель. В результате получим, что
$\frac{1 + z^{2}}{z - k} = 2k + \sqrt{k^{2} + 1 } \left ( \frac{z - k}{ \sqrt{k^{2} + 1 } } + \frac{ \sqrt{k^{2} + 1 } }{z - k} \right )$.
Сопоставляя это выражение с классическим неравенством (Многие школьные задачи на максимум или минимум некоторой величины используют тот факт, что функция $x + 1/x$, где $x > 0$, имеет минимальное значение при $x = 1$. Действительно, $x + 1/x = x - 2 + 1/x + 2 = ( \sqrt{x} - 1/ \sqrt{x} )^{2} + 2$; так как $( \sqrt{x} - 1/ \sqrt{x} )^{2} \geq 0$ при $x > 0$, то $x + 1/x \geq 2$, минимальное же значение достигается при $\sqrt{x} = 1/ \sqrt{x}$, т. е. при $x = 1$.) $x + \frac{1}{x} \geq 2$ при $x > 0$, приходим к выводу, что минимум $v_{0}$ имеет место при выполнении условия
$tg \alpha_{0} = z = k + \sqrt{k^{2} + 1} = \frac{H + \sqrt{H^{2} + S^{2} } }{S}$
и определяется выражением $v_{0min} = \sqrt{gH + g \sqrt{H^{2} + S^{2}}}$. Нетрудно видеть, что $v_{0min} < v_{0}^{ \prime}$.
Интересно отметить, что траектория снаряда, соответствующая найденным величинам $\alpha_{0}$ и $v_{0min}$, имеет вид, указанный на рисунке сплошной линией. Вершина траектории расположена по горизонтали ближе к орудию, чем цель, и находится выше цели. Снаряд попадает в цель на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на чертеже изображена траектория, вершина которой совпадает с положением цели.
Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что траектория построена правильно.
