Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11377
2019-11-17 
Четыре корабля А, Б, В и Г плывут в тумане с постоянными скоростями прямолинейными курсами. Корабли А я В чуть не столкнулись; назовем это событие "столкновением". Известно, что произошли следующие "столкновения": А и Б, А и В, А и Г, Б и В, Б и Г, причем в одном месте в одно и то же время "столкнулось" не больше двух кораблей. Доказать, что при этом корабли В и Г также "сталкиваются", если их скорости по величине различны.
Решение:
1-й способ. Как правило, когда интерес в задаче представляют расстояния между движущимися телами, бывает полезно вести рассмотрение в системе отсчета, в которой одно из тел неподвижно (см., например, задачи 11370, 11371).
Рассмотрим события с точки зрения наблюдателя, находящегося на корабле А. В этой системе отсчета траектория корабля Б является прямой линией, проходящей через точку А (сам корабль А в этой системе неподвижен), раз происходит "столкновение" А и Б. Траектория корабля В также есть прямая линия, проходящая через точку А. Допустим, что эта траектория имеет вид пунктирной прямой (см. рисунок). Если это действительно так, то в точке А происходит "столкновение" сразу трех кораблей: А, Б и В, (иначе не "столкнутся" корабли Б и В), что противоречит условиям задачи. Следовательно, в нашей системе отсчета траектории Б и В совпадают, а столкновение Б и В происходит не в точке А, а где-то в другом месте. Точно так же можно убедиться, что траектория Г совпадает с траекториями Б и В. Поскольку скорости В ж Г (относительно Земли) по условию различны, различны и их скорости в выбранной системе отсчета. В этой системе, таким образом, В и Г движутся по одной прямой с разными скоростями, а следовательно, неизбежно "столкнутся", если еще не "столкнулись".
2-й способ. Полезно познакомиться с еще одним удобным способом графического изображения движений. Допустим, что некоторое тело совершает движение, траектория которого лежит на плоскости. Введем на этой плоскости прямоугольную систему координат $oxy$. Пусть в момент времени $t$ тело имеет координаты $x$ и $y$. Добавим к нашей системе координат третью ось $oz$ ($oz \perp ox, oz \perp oy$), по которой будем откладывать время $t$. Три числа $x, y$ и $t$ изображаются в нашей системе точкой $M$. Множество этих точек для движения интересующего нас тела образует некоторую линию, которая называется мировой линией нашего тела. (Пример мировой линии для прямолинейного движения - кривая, изображающая зависимость от времени вьщоты тела, брошенного вверх. Мировая линия этого тела является, таким образом,отрезком параболы.) Мировые линии всех кораблей в нашей задаче являются прямыми, так как корабли движутся прямолинейно с постоянными скоростями.
Если мировые линии двух тел пересекаются, то эти-тела сталкиваются. (Заметьте, что если пересекаются траектории тел, то это еще не означает столкновения, так как через точку пересечения траекторий тела могут пройти в разные моменты времени. Поэтому аппарат мировых линий очень удобен при составлении сложных расписаний движения транспорта и используется, например, железнодорожниками. Расписание должно быть составлено так, чтобы мировые линии поездов пересекались только во время остановок.) По условиям задачи мировые линии А, Б и В попарно "пересекаются" (почти пересекаются), т. е. лежат в одной плоскости. Мировая линия Г лежит в той же плоскости, так как она "пересекает" линии А и Б. Так как скорости В и Г различны, мировые линии В и Г не параллельны, т. е. "пересекают" друг друга, что и означает "столкновение" кораблей В и Г.
Четыре корабля А, Б, В и Г плывут в тумане с постоянными скоростями прямолинейными курсами. Корабли А я В чуть не столкнулись; назовем это событие "столкновением". Известно, что произошли следующие "столкновения": А и Б, А и В, А и Г, Б и В, Б и Г, причем в одном месте в одно и то же время "столкнулось" не больше двух кораблей. Доказать, что при этом корабли В и Г также "сталкиваются", если их скорости по величине различны.
Решение:
1-й способ. Как правило, когда интерес в задаче представляют расстояния между движущимися телами, бывает полезно вести рассмотрение в системе отсчета, в которой одно из тел неподвижно (см., например, задачи 11370, 11371).
Рассмотрим события с точки зрения наблюдателя, находящегося на корабле А. В этой системе отсчета траектория корабля Б является прямой линией, проходящей через точку А (сам корабль А в этой системе неподвижен), раз происходит "столкновение" А и Б. Траектория корабля В также есть прямая линия, проходящая через точку А. Допустим, что эта траектория имеет вид пунктирной прямой (см. рисунок). Если это действительно так, то в точке А происходит "столкновение" сразу трех кораблей: А, Б и В, (иначе не "столкнутся" корабли Б и В), что противоречит условиям задачи. Следовательно, в нашей системе отсчета траектории Б и В совпадают, а столкновение Б и В происходит не в точке А, а где-то в другом месте. Точно так же можно убедиться, что траектория Г совпадает с траекториями Б и В. Поскольку скорости В ж Г (относительно Земли) по условию различны, различны и их скорости в выбранной системе отсчета. В этой системе, таким образом, В и Г движутся по одной прямой с разными скоростями, а следовательно, неизбежно "столкнутся", если еще не "столкнулись".
2-й способ. Полезно познакомиться с еще одним удобным способом графического изображения движений. Допустим, что некоторое тело совершает движение, траектория которого лежит на плоскости. Введем на этой плоскости прямоугольную систему координат $oxy$. Пусть в момент времени $t$ тело имеет координаты $x$ и $y$. Добавим к нашей системе координат третью ось $oz$ ($oz \perp ox, oz \perp oy$), по которой будем откладывать время $t$. Три числа $x, y$ и $t$ изображаются в нашей системе точкой $M$. Множество этих точек для движения интересующего нас тела образует некоторую линию, которая называется мировой линией нашего тела. (Пример мировой линии для прямолинейного движения - кривая, изображающая зависимость от времени вьщоты тела, брошенного вверх. Мировая линия этого тела является, таким образом,отрезком параболы.) Мировые линии всех кораблей в нашей задаче являются прямыми, так как корабли движутся прямолинейно с постоянными скоростями.
Если мировые линии двух тел пересекаются, то эти-тела сталкиваются. (Заметьте, что если пересекаются траектории тел, то это еще не означает столкновения, так как через точку пересечения траекторий тела могут пройти в разные моменты времени. Поэтому аппарат мировых линий очень удобен при составлении сложных расписаний движения транспорта и используется, например, железнодорожниками. Расписание должно быть составлено так, чтобы мировые линии поездов пересекались только во время остановок.) По условиям задачи мировые линии А, Б и В попарно "пересекаются" (почти пересекаются), т. е. лежат в одной плоскости. Мировая линия Г лежит в той же плоскости, так как она "пересекает" линии А и Б. Так как скорости В и Г различны, мировые линии В и Г не параллельны, т. е. "пересекают" друг друга, что и означает "столкновение" кораблей В и Г.
