Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11376
2019-11-17 
Пассажир стоял у начала вагона с порядковым номером $k$. Поезд тронулся с места, после чего оказалось, что вагон номера $m$ двигался мимо пассажира $t$ с. Какое время займет прохождение мимо этого пассажира вагона номера $n$? Движение поезда равноускоренное, длины вагонов одинаковы, пассажир неподвижен относительно платформы.
Решение:
Иногда эта задача вызывает недоумение: "Так мало дано! Вот если бы были еще известны ускорение или длина вагона...". Однако, поскольку и в данных задачи и в поставленном вопросе речь идет только о времени, можно надеяться, что разумно введенные дополнительные неизвестные удастся исключить в процессе решения.
Обозначим время, за которое мимо наблюдателя прошли все вагоны с номера $k$ по номер $m - 1$ включительно, символом $t_{m-1}$, по номер $m$ - символом $t_{m}$, по номер $(n-1) - t_{n-1}$, по номер $n - t_{n}$; время прохождения самих вагонов с номерами $k, m$ и $n - \Delta t_{k}, \Delta t_{m}$ и $\Delta t_{n}$ соответственно. Тогда справедливо, что
$\Delta t_{m} = t_{m} - t_{m-1}, \Delta t_{n} = t_{n} - t_{n-1}$. (1)
Если длина вагона равна $l$, а ускорение поезда $a$, то для вагона $k$
$l = \frac{a( \Delta t_{k})^{2}}{2}$. (2)
Из последнего соотношения $\sqrt{ \frac{2l}{a}} = \Delta t_{k}$.
За время $t_{m}$ мимо пассажира прошло $m - (k - 1)$ вагонов, поэтому соотношение типа соотношения (2) запишется в этом случае в виде $(m + 1 - k)l = \frac{at_{m}^{2}}{2}$, откуда $t_{m} = \sqrt{ \frac{2l}{a}} \sqrt{ m + 1 - k } = \Delta t_{k} \sqrt{ m + 1 - k }$. Аналогично $t_{m-1} = t_{k} \sqrt{m - k }$. С учетом равенства (1) получаем, что
$\Delta t_{k} = \frac{t_{m} - t_{m-1} }{ \sqrt{m + 1 -k} - \sqrt{m-k} } = \frac{t}{ \sqrt{m + 1 - k} - \sqrt{m - k} }$.
Проводя те же выкладки для вагона с порядковым номером $n$, найдем, что искомое время определяется выражением
$\Delta t_{k} = ( \sqrt{n + 1 - k} - \sqrt{n - k}) \Delta t_{k} = \frac{ \sqrt{n + 1 - k} - \sqrt{n - k} }{ \sqrt{m + 1 - k} - \sqrt{ m - k} } t$.
Так как по условиям задачи $m, n \geq k$, то все корни имеют смысл, знаменатель в ноль не обращается.
Пассажир стоял у начала вагона с порядковым номером $k$. Поезд тронулся с места, после чего оказалось, что вагон номера $m$ двигался мимо пассажира $t$ с. Какое время займет прохождение мимо этого пассажира вагона номера $n$? Движение поезда равноускоренное, длины вагонов одинаковы, пассажир неподвижен относительно платформы.
Решение:
Иногда эта задача вызывает недоумение: "Так мало дано! Вот если бы были еще известны ускорение или длина вагона...". Однако, поскольку и в данных задачи и в поставленном вопросе речь идет только о времени, можно надеяться, что разумно введенные дополнительные неизвестные удастся исключить в процессе решения.
Обозначим время, за которое мимо наблюдателя прошли все вагоны с номера $k$ по номер $m - 1$ включительно, символом $t_{m-1}$, по номер $m$ - символом $t_{m}$, по номер $(n-1) - t_{n-1}$, по номер $n - t_{n}$; время прохождения самих вагонов с номерами $k, m$ и $n - \Delta t_{k}, \Delta t_{m}$ и $\Delta t_{n}$ соответственно. Тогда справедливо, что
$\Delta t_{m} = t_{m} - t_{m-1}, \Delta t_{n} = t_{n} - t_{n-1}$. (1)
Если длина вагона равна $l$, а ускорение поезда $a$, то для вагона $k$
$l = \frac{a( \Delta t_{k})^{2}}{2}$. (2)
Из последнего соотношения $\sqrt{ \frac{2l}{a}} = \Delta t_{k}$.
За время $t_{m}$ мимо пассажира прошло $m - (k - 1)$ вагонов, поэтому соотношение типа соотношения (2) запишется в этом случае в виде $(m + 1 - k)l = \frac{at_{m}^{2}}{2}$, откуда $t_{m} = \sqrt{ \frac{2l}{a}} \sqrt{ m + 1 - k } = \Delta t_{k} \sqrt{ m + 1 - k }$. Аналогично $t_{m-1} = t_{k} \sqrt{m - k }$. С учетом равенства (1) получаем, что
$\Delta t_{k} = \frac{t_{m} - t_{m-1} }{ \sqrt{m + 1 -k} - \sqrt{m-k} } = \frac{t}{ \sqrt{m + 1 - k} - \sqrt{m - k} }$.
Проводя те же выкладки для вагона с порядковым номером $n$, найдем, что искомое время определяется выражением
$\Delta t_{k} = ( \sqrt{n + 1 - k} - \sqrt{n - k}) \Delta t_{k} = \frac{ \sqrt{n + 1 - k} - \sqrt{n - k} }{ \sqrt{m + 1 - k} - \sqrt{ m - k} } t$.
Так как по условиям задачи $m, n \geq k$, то все корни имеют смысл, знаменатель в ноль не обращается.
