Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11375
2019-11-17 
Пассажир, опоздавший на свой поезд, решил сначала догнать его на такси, однако через некоторое время он пересел на автобус, заплатив за билет $A$ руб, и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем обнаружилось, что если бы он продолжал ехать на такси, то догнал бы поезда на $\tau$ ч раньше, истратив при этом на $B$ руб меньше. Какова скорость поезда $v$, если скорость такси $v_{1}$ км/ч, автобуса $v_{2}$ км/ч, стоимость проезда 1 км на такси $a$ руб и шоссе проходит параллельно железной дороге?
Решение:
1-й способ. Условимся, что поезд покинул исходную станцию в момент $t = 0$, пассажир опоздал на поезд на $\Delta t$ ч, пересел на автобус в $t_{1}$ ч и догнал поезд в $T$ ч.
К моменту встречи пассажир и поезд проходят одинаковое расстояние, т. е.
$vT = v_{1}(t_{1} - \Delta t ) + v_{2}(T - t_{2} )$ (1)
в случае поездки на такси и в автобусе и
$v(T - \tau) = v_{1}(T - \tau - \Delta t)$ (2)
в случае поездки только на такси.
Доплата за такси во втором случае составляет $(A - B)$ руб, а дополнительное расстояние, покрытое на такси за эту сумму, $(A - В)/а$ км. Это дает еще одно уравнение
$\frac{A - B}{a} = v_{1}(T - \tau - t_{1} )$. (3)
Условия задачи исчерпываются системой уравнений (1)-(3) с четырьмя неизвестными. Кратчайший путь к получению ответа таков: уравнения (1) и (2) вычитаются одно из другого, после чего в полученное уравнение подставляется величина $T - \tau$ из (3). Результат имеет вид
$v = v_{2} - \frac{(A - В)(v_{1} - v_{2} )}{a \tau v_{1} }$.
Примечание. Как известно, система из m уравнений для п неизвестных неразрешима, если $m < n$. Не следует забывать, однако, что под "неразрешимостыо" понимается невозможность найти значения всех п неизвестных, что, как в данной системе, совсем не исключает возможности нахождения нескольких из них.
2-й способ. Представим условия задачи в графической форме в прямоугольной системе координат, откладывая по оси абсцисс время с момента выезда пассажира из исходного пункта, по оси ординат - расстояние пассажира от поезда (см. рисунок), т. е. перейдем к системе отсчета, жестко связанной с поездом. Условимся считать, что отстающий пассажир находится на отрицательном расстояний от поезда; OD - отставание пассажира в начальный момент времени. На графике отрезок DA изображает поездку в такси, АС - на автобусе, АВ - предполагаемое продолжение поездки на такси. Движение самого поезда на нашем графике изображается линией, совпадающей с осью абсцисс, так как поезд в нашей системе отсчета неподвижен. Очевидно, что $BC = \tau, tg \alpha = v_{2} - v, tg \beta = v_{1} - v$. Отрезок ОЕ, равный проекции отрезка АВ на ось ординат, есть величина отставания пассажира от поезда в момент пересадки с такси на автобус. Известно, что дополнительное расстояние, пройденное на такси со скоростью $v_{1}$, равно $\frac{A - B}{a}$ км. За то же время при движении со скоростью $v_{1} - v$ будет пройдено расстояние $\frac{A -B}{a} \frac{v_{1} - v}{v_{1}}$ км.
Следовательно,
$AB = \frac{OE}{ \sin \beta} = \frac{A - B}{a \sin \beta} \frac{v_{1} - v }{v_{1} }$.
Применяя к $\Delta ABC$ теорему синусов, получим, что
$\frac{ \tau}{ \sin ( \beta - \alpha) } = \frac{v_{1} - v }{v_{1} } \frac{A - B}{ a \sin \alpha \sin \beta}$. (4)
Воспользовавшись формулой для синуса разности углов, преобразуем последнее уравнение к виду
$\frac{ \tau}{tg \beta - tg \alpha} = \frac{v_{1} - v }{v_{1} } \frac{A - B}{a tg \alpha tg \beta}$,
откуда $v = v_{2} - \frac{(A - B)(v_{1} - v_{2})}{a \tau v_{1}}$.
Преимущество изложенного метода по сравнению с предыдущим заключается прежде всего в его большой наглядности. Вся содержащаяся в условиях задачи информация связана с элементами $\Delta ABC$, а основная идея решения заключена в единственном уравнении (4). Дальнейшие выкладки лишь преобразуют это уравнение к удобному виду. Кроме того, метод не требует введения вспомогательных неизвестных величин $\Delta t, t_{1}$ и $T$, которые в дальнейшем необходимо исключать из системы уравнений.
Вообще, во всех случаях, когда условия задачи позволяют построить какой-то график, это следует делать; ничего, кроме пользы, это не принесет.
В заключение заметим, что формулировка задачи избавляет нас от необходимости исследовать ответ в зависимости от численных значений входящих в него величин.
Пассажир, опоздавший на свой поезд, решил сначала догнать его на такси, однако через некоторое время он пересел на автобус, заплатив за билет $A$ руб, и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем обнаружилось, что если бы он продолжал ехать на такси, то догнал бы поезда на $\tau$ ч раньше, истратив при этом на $B$ руб меньше. Какова скорость поезда $v$, если скорость такси $v_{1}$ км/ч, автобуса $v_{2}$ км/ч, стоимость проезда 1 км на такси $a$ руб и шоссе проходит параллельно железной дороге?
Решение:
1-й способ. Условимся, что поезд покинул исходную станцию в момент $t = 0$, пассажир опоздал на поезд на $\Delta t$ ч, пересел на автобус в $t_{1}$ ч и догнал поезд в $T$ ч.
К моменту встречи пассажир и поезд проходят одинаковое расстояние, т. е.
$vT = v_{1}(t_{1} - \Delta t ) + v_{2}(T - t_{2} )$ (1)
в случае поездки на такси и в автобусе и
$v(T - \tau) = v_{1}(T - \tau - \Delta t)$ (2)
в случае поездки только на такси.
Доплата за такси во втором случае составляет $(A - B)$ руб, а дополнительное расстояние, покрытое на такси за эту сумму, $(A - В)/а$ км. Это дает еще одно уравнение
$\frac{A - B}{a} = v_{1}(T - \tau - t_{1} )$. (3)
Условия задачи исчерпываются системой уравнений (1)-(3) с четырьмя неизвестными. Кратчайший путь к получению ответа таков: уравнения (1) и (2) вычитаются одно из другого, после чего в полученное уравнение подставляется величина $T - \tau$ из (3). Результат имеет вид
$v = v_{2} - \frac{(A - В)(v_{1} - v_{2} )}{a \tau v_{1} }$.
Примечание. Как известно, система из m уравнений для п неизвестных неразрешима, если $m < n$. Не следует забывать, однако, что под "неразрешимостыо" понимается невозможность найти значения всех п неизвестных, что, как в данной системе, совсем не исключает возможности нахождения нескольких из них.
2-й способ. Представим условия задачи в графической форме в прямоугольной системе координат, откладывая по оси абсцисс время с момента выезда пассажира из исходного пункта, по оси ординат - расстояние пассажира от поезда (см. рисунок), т. е. перейдем к системе отсчета, жестко связанной с поездом. Условимся считать, что отстающий пассажир находится на отрицательном расстояний от поезда; OD - отставание пассажира в начальный момент времени. На графике отрезок DA изображает поездку в такси, АС - на автобусе, АВ - предполагаемое продолжение поездки на такси. Движение самого поезда на нашем графике изображается линией, совпадающей с осью абсцисс, так как поезд в нашей системе отсчета неподвижен. Очевидно, что $BC = \tau, tg \alpha = v_{2} - v, tg \beta = v_{1} - v$. Отрезок ОЕ, равный проекции отрезка АВ на ось ординат, есть величина отставания пассажира от поезда в момент пересадки с такси на автобус. Известно, что дополнительное расстояние, пройденное на такси со скоростью $v_{1}$, равно $\frac{A - B}{a}$ км. За то же время при движении со скоростью $v_{1} - v$ будет пройдено расстояние $\frac{A -B}{a} \frac{v_{1} - v}{v_{1}}$ км.
Следовательно,
$AB = \frac{OE}{ \sin \beta} = \frac{A - B}{a \sin \beta} \frac{v_{1} - v }{v_{1} }$.
Применяя к $\Delta ABC$ теорему синусов, получим, что
$\frac{ \tau}{ \sin ( \beta - \alpha) } = \frac{v_{1} - v }{v_{1} } \frac{A - B}{ a \sin \alpha \sin \beta}$. (4)
Воспользовавшись формулой для синуса разности углов, преобразуем последнее уравнение к виду
$\frac{ \tau}{tg \beta - tg \alpha} = \frac{v_{1} - v }{v_{1} } \frac{A - B}{a tg \alpha tg \beta}$,
откуда $v = v_{2} - \frac{(A - B)(v_{1} - v_{2})}{a \tau v_{1}}$.
Преимущество изложенного метода по сравнению с предыдущим заключается прежде всего в его большой наглядности. Вся содержащаяся в условиях задачи информация связана с элементами $\Delta ABC$, а основная идея решения заключена в единственном уравнении (4). Дальнейшие выкладки лишь преобразуют это уравнение к удобному виду. Кроме того, метод не требует введения вспомогательных неизвестных величин $\Delta t, t_{1}$ и $T$, которые в дальнейшем необходимо исключать из системы уравнений.
Вообще, во всех случаях, когда условия задачи позволяют построить какой-то график, это следует делать; ничего, кроме пользы, это не принесет.
В заключение заметим, что формулировка задачи избавляет нас от необходимости исследовать ответ в зависимости от численных значений входящих в него величин.
