Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11374
2019-11-17 
Велосипедисту необходимо кратчайшим способом попасть из пункта А в пункт В. Из Е в В ведет дорога (см. рис. а), по которой можно ехать со скоростью $v_{1}$. Пункт А находится на лугу, скорость передвижения по которому $v_{2}$. Расстояние AD равно $a$, АВ равно $b$. Как должен ехать велосипедист?
Решение:
Нетрудно догадаться, что если $v_{1} > v_{2}$, то самый короткий путь АВ не обязательно требует наименьшего времени. Велосипедисту выгодно использовать преимущество передвижения с большой скоростью по дороге, сократив, насколько возможно, медленную поездку по лугу.
Допустим, что велосипедист движется по ломаной АСВ. На это затрачивается время
$t = \frac{AC}{v_{2}} + \frac{CB}{v_{1}} = \frac{ \sqrt{ a^{2} + CD^{2}}}{v_{2} } + \frac{BD - CD}{v_{1}}$,
или
$t = \frac{v_{2}BD + \sigma}{v_{1}v_{2}}$, где $\sigma = v_{1} \sqrt{a^{2}+ CD^{2}} - v_{2}CD$.
Необходимо найти минимум величины $\sigma$ как функции $CD$. Представим-последнее выражение в виде квадратного уравнения относительно величины $CD$, т. е.
$CD^{2} + \frac{2 \sigma v_{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } CD + \frac{ \sigma^{2} - v_{1}^{2}a^{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } = 0$.
Решения уравнения имеют смысл при условии, что дискриминант неотрицателен:
$\left ( \frac{ \sigma v_{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } \right )^{2} - \frac{ \sigma^{2} - v_{1}^{2} a^{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } \geq 0$.
Отсюда для наименьшего, значения $\sigma$ получаем выражение $\sigma_{min} = a \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}$. При этом $CD = \frac{av_{2}}{ \sqrt{ v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$. Следовательно, если $BD = \sqrt{b^{2} - a^{2}} \leq \frac{av_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$, то нужно ехать из А в В по прямой; в противном случае следует избрать путь вдоль ломаной АСВ.
Отметим, что если кратчайшим путем является ломаная АСВ, то справедливо, что $\sin \alpha = v_{2}/v_{1}$.
Велосипедисту необходимо кратчайшим способом попасть из пункта А в пункт В. Из Е в В ведет дорога (см. рис. а), по которой можно ехать со скоростью $v_{1}$. Пункт А находится на лугу, скорость передвижения по которому $v_{2}$. Расстояние AD равно $a$, АВ равно $b$. Как должен ехать велосипедист?
Решение:
Нетрудно догадаться, что если $v_{1} > v_{2}$, то самый короткий путь АВ не обязательно требует наименьшего времени. Велосипедисту выгодно использовать преимущество передвижения с большой скоростью по дороге, сократив, насколько возможно, медленную поездку по лугу.
Допустим, что велосипедист движется по ломаной АСВ. На это затрачивается время
$t = \frac{AC}{v_{2}} + \frac{CB}{v_{1}} = \frac{ \sqrt{ a^{2} + CD^{2}}}{v_{2} } + \frac{BD - CD}{v_{1}}$,
или
$t = \frac{v_{2}BD + \sigma}{v_{1}v_{2}}$, где $\sigma = v_{1} \sqrt{a^{2}+ CD^{2}} - v_{2}CD$.
Необходимо найти минимум величины $\sigma$ как функции $CD$. Представим-последнее выражение в виде квадратного уравнения относительно величины $CD$, т. е.
$CD^{2} + \frac{2 \sigma v_{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } CD + \frac{ \sigma^{2} - v_{1}^{2}a^{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } = 0$.
Решения уравнения имеют смысл при условии, что дискриминант неотрицателен:
$\left ( \frac{ \sigma v_{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } \right )^{2} - \frac{ \sigma^{2} - v_{1}^{2} a^{2} }{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} } \geq 0$.
Отсюда для наименьшего, значения $\sigma$ получаем выражение $\sigma_{min} = a \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}$. При этом $CD = \frac{av_{2}}{ \sqrt{ v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$. Следовательно, если $BD = \sqrt{b^{2} - a^{2}} \leq \frac{av_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$, то нужно ехать из А в В по прямой; в противном случае следует избрать путь вдоль ломаной АСВ.
Отметим, что если кратчайшим путем является ломаная АСВ, то справедливо, что $\sin \alpha = v_{2}/v_{1}$.
