Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11373
2019-11-17 
Человек находится на расстоянии $a$ от прямой дороги, по которой равномерно со скоростью $v_{1}$ движется автомобиль. В начальный момент автомобиль находится в ближайшей к человеку точке дороги. Насколько близко человек может подбежать к автомобилю и в каком направлении он должен бежать, если его скорость равна $v_{2}$?
Решение:
Докажем, что человек должен бежать прямолинейно. Пусть человек бежит по некоторой кривой линии ВС (см. рис. а) и в точке С находится к автомобилю, расположенному в этот момент в точке А, ближе всего. Пусть при этом затрачено время $t$. Однако, если человек побежит вдоль прямолинейного отрезка ВС, он затратит на это время $t_{1} < t$ и за оставшееся время $\Delta t = t - t_{1}$ сможет подбежать к автомобилю еще ближе. Бежать в направлении BД еще выгоднее, и т. д.
Рассмотрим движение человека относительно автомобиля, осуществляемое со скоростью $\vec{v}_{21}$ (см. рис. б). Для построения вектора $\vec{v}_{21} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$ поступим следующим образом. Начало, вектора -$\vec{v}_{1}$ поместим в точку В (исходное положение человека). Начало вектора $\vec{v}_{2}$ поместим в точку, где расположен конец вектора -$v_{1}$. Если начало всех векторов $\vec{v}_{21}$ находится в точке В, то их концы при всевозможных направлениях движения человека лежат на окружности радиусом $v_{2}$ с центром в точке О.
Прямую, по которой бежит человек во введенной системе отсчета, следует провести так, чтобы она проходила как можно ближе к точке A и имела общие точки с окружностью. Этим условиям удовлетворяет проведенная из точки В касательная к окружности. Следовательно, искомое направление движения человека (угол $\phi$) и кратчайшее расстояние до автомобиля $R_{min}$ таковы, что $\cos \phi = \frac{v_{2}}{v_{1}}, R_{min} = AC = a \sin \phi, AC \perp BC$ для случая $v_{2} < v_{1}$.
Если $v_{2} > v_{1}$, то $v_{1}/v_{2} \leq \cos \phi \leq 1, R_{min} = 0$ и человек может бежать в любом направлении в пределах указанного сектора (см. рис. в): условия задачи не запрещают бегущему достичь какой-то точки дороги раньше, чем через эту точку пройдет автомобиль, и в этом месте подождать автомобиль.
Наконец, при условии, что $v_{1} = v_{2}$, человек может сколь угодно близко подбежать к автомобилю, выбрав соответствующий малый угол $\phi$.
Читателю предлагается самому доказать эти утверждения и построить соответствующие чертежи.
Человек находится на расстоянии $a$ от прямой дороги, по которой равномерно со скоростью $v_{1}$ движется автомобиль. В начальный момент автомобиль находится в ближайшей к человеку точке дороги. Насколько близко человек может подбежать к автомобилю и в каком направлении он должен бежать, если его скорость равна $v_{2}$?
Решение:
Докажем, что человек должен бежать прямолинейно. Пусть человек бежит по некоторой кривой линии ВС (см. рис. а) и в точке С находится к автомобилю, расположенному в этот момент в точке А, ближе всего. Пусть при этом затрачено время $t$. Однако, если человек побежит вдоль прямолинейного отрезка ВС, он затратит на это время $t_{1} < t$ и за оставшееся время $\Delta t = t - t_{1}$ сможет подбежать к автомобилю еще ближе. Бежать в направлении BД еще выгоднее, и т. д.
Рассмотрим движение человека относительно автомобиля, осуществляемое со скоростью $\vec{v}_{21}$ (см. рис. б). Для построения вектора $\vec{v}_{21} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$ поступим следующим образом. Начало, вектора -$\vec{v}_{1}$ поместим в точку В (исходное положение человека). Начало вектора $\vec{v}_{2}$ поместим в точку, где расположен конец вектора -$v_{1}$. Если начало всех векторов $\vec{v}_{21}$ находится в точке В, то их концы при всевозможных направлениях движения человека лежат на окружности радиусом $v_{2}$ с центром в точке О.
Прямую, по которой бежит человек во введенной системе отсчета, следует провести так, чтобы она проходила как можно ближе к точке A и имела общие точки с окружностью. Этим условиям удовлетворяет проведенная из точки В касательная к окружности. Следовательно, искомое направление движения человека (угол $\phi$) и кратчайшее расстояние до автомобиля $R_{min}$ таковы, что $\cos \phi = \frac{v_{2}}{v_{1}}, R_{min} = AC = a \sin \phi, AC \perp BC$ для случая $v_{2} < v_{1}$.
Если $v_{2} > v_{1}$, то $v_{1}/v_{2} \leq \cos \phi \leq 1, R_{min} = 0$ и человек может бежать в любом направлении в пределах указанного сектора (см. рис. в): условия задачи не запрещают бегущему достичь какой-то точки дороги раньше, чем через эту точку пройдет автомобиль, и в этом месте подождать автомобиль.
Наконец, при условии, что $v_{1} = v_{2}$, человек может сколь угодно близко подбежать к автомобилю, выбрав соответствующий малый угол $\phi$.
Читателю предлагается самому доказать эти утверждения и построить соответствующие чертежи.
