Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11370
2019-11-17 
Автомобили $A$ и $B$ движутся равномерно с одинаковыми скоростями по прямым, пересекающимся в точке $O$ дорогам 1 и 2. Определить минимальное расстояние между автомобилями, если известны их начальные положения ($AO = a$ и $BO = b$), скорость $v$ и угол $\alpha$ между дорогами (см. рис. а).
Решение:
В задачах на максимум и минимум всегда полезно с самого начала убедиться, если это возможно, что искомый результат существует. Обычно зто подсказывает и основную идею решения. Следует, конечно, помнить, что всякое предположение нуждается в доказательстве. При решении задач мы будем иногда опускать наши интуитивные соображения, полагаясь на сообразительность читателя.
1-й способ. Искомое кратчайшее расстояние можно определить расчетным путем. Расстояние между автомобилями в момент времени $t$ определим по теореме косинусов
$R_{AB}^{2} = (a - vt)^{2} + (b - vt)^{2} + 2 (a - vt)(b - vt) \cos \alpha$. (1)
Необходимо найти минимум величины $R_{AB}^{2}$ как функции времени. Для этого воспользуемся следующим приемом: рассмотрим соотношение (1) как квадратное уравнение относительно величины $t$. Корни этого уравнения определяются соотношением $t_{1,2} = \frac{а + b}{2v} \pm \sqrt{D}$, в котором $D$ есть дискриминант уравнения, равный
$D = \frac{(a - b)^{2} ( \cos \alpha - 1) + 2R_{AB}^{2}}{4v^{2} ( \cos \alpha + 1)}$.
Физический смысл корней следующий: если дискриминант неотрицателен, расстояние между автомобилями принимает одно и то же значение в два различных момента времени. Таким образом, искомое минимальное расстояние $R_{0}$, на котором автомобили находятся только один раз (в момент времени $t_{0} = \frac{a + b}{2v}$), достигается при $D = 0$. Тогда $R_{0}^{2} = (a - b)^{2} \frac{1 - \cos \alpha}{2}$. Представив выражение (1) в виде
$R_{AB}^{2} = R_{0}^{2} + 2v^{2}(1 + \cos \alpha) \left ( t - \frac{a+b}{2v} \right )^{2}$,
убеждаемся, что $R_{AB}^{2} \geq R_{0}^{2}$.
2-й способ. Поскольку автомобили движутся с одинаковыми скоростями, то в момент времени $t^{ \prime} = (a + b)v$ автомобили "поменяются" местами, т. е. автомобиль $A$ окажется на расстоянии $b$ от точки пересечения дорог, а автомобиль $B$ - на расстоянии $a$. Таким образом, в рамках поставленной задачи автомобили равноправны, и можно догадаться, что в искомый момент времени автомобили должны быть симметричны относительно точки $O$, т. е. находиться от нее на одинаковых расстояниях. Попробуем проверить это предположение.
Обратимся к рис. б и выясним, справедливо ли неравенство $A_{2}B_{2} > A_{1}B_{1}$ если $A_{1}O = B_{1}O$ и $A_{1}A_{2} = B_{1}B_{2}$. Построим параллелограмм $A_{1}B_{1}B_{2}C$. Так как $\Delta CA_{1}A_{2}$ - равнобедренный, то отрезок $A_{2}C$ параллелен биссектрисе $\angle A_{1}OB_{1}$, т. е. $A_{2}C \perp B_{2}C$. Отрезки $A_{2}B_{2}$ и $CB_{2} = A_{1}B_{1}$ являются, соответственно, гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника $CA_{2}B_{2}$, что и доказывает справедливость исходного неравенства, а значит, и нашего предположения. После этого нетрудно найти и величину кратчайшего расстояния между автомобилями.
3-й способ. Два предыдущих метода не лишены недостатков: первый требует сравнительно громоздких выкладок, во втором нужно заранее угадать результат, что не удалось бы, если бы скорости автомобилей были различны. Предлагаемый дальше способ свободен от этих недостатков и позволяет без вычислений построить искомый отрезок и соответствующие положения автомобилей.
Рассмотрим движение автомобиля $B$ с точки зрения наблюдателя, находящегося в автомобиле $A$. Скорость такого движения равна, как известно, разности $\vec{v}_{B} - \vec{v}_{A}$ и постоянна по величине и направлению. Это значит, что относительно автомобиля $A$ автомобиль $B$ движется по прямой линии 3. На рис. в прямая 3 изображена пунктиром для того, чтобы подчеркнуть, что она нарисована, в системе отсчета, связанной с автомобилем $A$. Следовательно, автомобили находятся ближе всего друг к другу, когда автомобиль $B$ проходит через точку $B^{ \prime}$, являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую 3. Отрезок $AB^{ \prime}$ равен искомому кратчайшему расстоянию между автомобилями.
Для того чтобы изобразить положение отрезка $AB^{ \prime}$ в неподвижной системе отсчета, сместим его параллельно самому себе так, чтобы конец $B^{ \prime}$ попал на дорогу 2. Таким образом, точки $A_{1}$ и $B_{1}$ являются искомыми положениями автомобилей.
Автомобили $A$ и $B$ движутся равномерно с одинаковыми скоростями по прямым, пересекающимся в точке $O$ дорогам 1 и 2. Определить минимальное расстояние между автомобилями, если известны их начальные положения ($AO = a$ и $BO = b$), скорость $v$ и угол $\alpha$ между дорогами (см. рис. а).
Решение:
В задачах на максимум и минимум всегда полезно с самого начала убедиться, если это возможно, что искомый результат существует. Обычно зто подсказывает и основную идею решения. Следует, конечно, помнить, что всякое предположение нуждается в доказательстве. При решении задач мы будем иногда опускать наши интуитивные соображения, полагаясь на сообразительность читателя.
1-й способ. Искомое кратчайшее расстояние можно определить расчетным путем. Расстояние между автомобилями в момент времени $t$ определим по теореме косинусов
$R_{AB}^{2} = (a - vt)^{2} + (b - vt)^{2} + 2 (a - vt)(b - vt) \cos \alpha$. (1)
Необходимо найти минимум величины $R_{AB}^{2}$ как функции времени. Для этого воспользуемся следующим приемом: рассмотрим соотношение (1) как квадратное уравнение относительно величины $t$. Корни этого уравнения определяются соотношением $t_{1,2} = \frac{а + b}{2v} \pm \sqrt{D}$, в котором $D$ есть дискриминант уравнения, равный
$D = \frac{(a - b)^{2} ( \cos \alpha - 1) + 2R_{AB}^{2}}{4v^{2} ( \cos \alpha + 1)}$.
Физический смысл корней следующий: если дискриминант неотрицателен, расстояние между автомобилями принимает одно и то же значение в два различных момента времени. Таким образом, искомое минимальное расстояние $R_{0}$, на котором автомобили находятся только один раз (в момент времени $t_{0} = \frac{a + b}{2v}$), достигается при $D = 0$. Тогда $R_{0}^{2} = (a - b)^{2} \frac{1 - \cos \alpha}{2}$. Представив выражение (1) в виде
$R_{AB}^{2} = R_{0}^{2} + 2v^{2}(1 + \cos \alpha) \left ( t - \frac{a+b}{2v} \right )^{2}$,
убеждаемся, что $R_{AB}^{2} \geq R_{0}^{2}$.
2-й способ. Поскольку автомобили движутся с одинаковыми скоростями, то в момент времени $t^{ \prime} = (a + b)v$ автомобили "поменяются" местами, т. е. автомобиль $A$ окажется на расстоянии $b$ от точки пересечения дорог, а автомобиль $B$ - на расстоянии $a$. Таким образом, в рамках поставленной задачи автомобили равноправны, и можно догадаться, что в искомый момент времени автомобили должны быть симметричны относительно точки $O$, т. е. находиться от нее на одинаковых расстояниях. Попробуем проверить это предположение.
Обратимся к рис. б и выясним, справедливо ли неравенство $A_{2}B_{2} > A_{1}B_{1}$ если $A_{1}O = B_{1}O$ и $A_{1}A_{2} = B_{1}B_{2}$. Построим параллелограмм $A_{1}B_{1}B_{2}C$. Так как $\Delta CA_{1}A_{2}$ - равнобедренный, то отрезок $A_{2}C$ параллелен биссектрисе $\angle A_{1}OB_{1}$, т. е. $A_{2}C \perp B_{2}C$. Отрезки $A_{2}B_{2}$ и $CB_{2} = A_{1}B_{1}$ являются, соответственно, гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника $CA_{2}B_{2}$, что и доказывает справедливость исходного неравенства, а значит, и нашего предположения. После этого нетрудно найти и величину кратчайшего расстояния между автомобилями.
3-й способ. Два предыдущих метода не лишены недостатков: первый требует сравнительно громоздких выкладок, во втором нужно заранее угадать результат, что не удалось бы, если бы скорости автомобилей были различны. Предлагаемый дальше способ свободен от этих недостатков и позволяет без вычислений построить искомый отрезок и соответствующие положения автомобилей.
Рассмотрим движение автомобиля $B$ с точки зрения наблюдателя, находящегося в автомобиле $A$. Скорость такого движения равна, как известно, разности $\vec{v}_{B} - \vec{v}_{A}$ и постоянна по величине и направлению. Это значит, что относительно автомобиля $A$ автомобиль $B$ движется по прямой линии 3. На рис. в прямая 3 изображена пунктиром для того, чтобы подчеркнуть, что она нарисована, в системе отсчета, связанной с автомобилем $A$. Следовательно, автомобили находятся ближе всего друг к другу, когда автомобиль $B$ проходит через точку $B^{ \prime}$, являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую 3. Отрезок $AB^{ \prime}$ равен искомому кратчайшему расстоянию между автомобилями.
Для того чтобы изобразить положение отрезка $AB^{ \prime}$ в неподвижной системе отсчета, сместим его параллельно самому себе так, чтобы конец $B^{ \prime}$ попал на дорогу 2. Таким образом, точки $A_{1}$ и $B_{1}$ являются искомыми положениями автомобилей.
