Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11368
2019-11-17 
На горизонтальной поверхности стола лежит катушка, которая может катиться по столу без скольжения. На внутренний цилиндр катушки намотана нитка (см. рисунок), конец которой тянут в горизонтальном направлении со скоростью $v$. Какова скорость оси катушки, если радиусы внешнего и внутреннего цилиндров равны $R$ и $r$?
Решение:
1-й способ. Движение конца нити $C$ можно представить себе складывающимся из двух движений: движения вместе с осью катушки со скоростью $v_{0}$ (как если бы нитка была закреплена в точке $A$, а катушка скользила бы поступательно) и движения с некоторой скоростью $v_{1}$ в результате наматывания (или сматывания) нити на катушку, т. е. $v = v_{0} \pm v_{1}$, где знак плюс соответствует сматыванию нити.
Заставим катушку сделать один полный оборот и определим величину, на которую переместится конец нитки $C$. Очевидно, что в данном случае катушка катится вправо. За один оборот ось катушки переместится на расстояние $2 \pi R$, причем на катушку намотается нить длиной $2 \pi r$. Таким образом,
$v_{0} = v + v_{1} = v \left (1 + \frac{v_{1} }{v} \right ) = v \left ( 1 + \frac{2 \pi r}{2 \pi R - 2 \pi r} \right ) = v \frac{R}{R - r}$.
2-й способ. Качение катушки без скольжения по плоскости в любой момент можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси $B$. Это следует из того, что точка $B$ катушки неподвижна. Таким образом, известно, что $v_{B} = 0, v_{A} = v$. Следовательно, $v_{0} = \frac{vR}{R - г}$, так как линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.
При $R = r$ и $v \neq 0$ ответ теряет смысл. Поясним это. Пусть скорость центра катушки $v_{0}$ задана. Тогда скорость конца нитки определяется соотношением $v = \frac{R - r}{R} v_{0}$, и при $R \rightarrow r$ $v \rightarrow 0$ при любом значении скорости $v_{0}$. При $R = r$ конец нитки "не замечает", катится ли катушка, или она неподвижна. Следовательно, при $R = r$ скорость конца нитки может быть равной только нулю. Из формулы $v_{0} = \frac{vR}{R - r}$ при этом мы получаем, что $v_{0} = 0/0$, т. е. $v_{0}$ не определена.
На горизонтальной поверхности стола лежит катушка, которая может катиться по столу без скольжения. На внутренний цилиндр катушки намотана нитка (см. рисунок), конец которой тянут в горизонтальном направлении со скоростью $v$. Какова скорость оси катушки, если радиусы внешнего и внутреннего цилиндров равны $R$ и $r$?
Решение:
1-й способ. Движение конца нити $C$ можно представить себе складывающимся из двух движений: движения вместе с осью катушки со скоростью $v_{0}$ (как если бы нитка была закреплена в точке $A$, а катушка скользила бы поступательно) и движения с некоторой скоростью $v_{1}$ в результате наматывания (или сматывания) нити на катушку, т. е. $v = v_{0} \pm v_{1}$, где знак плюс соответствует сматыванию нити.
Заставим катушку сделать один полный оборот и определим величину, на которую переместится конец нитки $C$. Очевидно, что в данном случае катушка катится вправо. За один оборот ось катушки переместится на расстояние $2 \pi R$, причем на катушку намотается нить длиной $2 \pi r$. Таким образом,
$v_{0} = v + v_{1} = v \left (1 + \frac{v_{1} }{v} \right ) = v \left ( 1 + \frac{2 \pi r}{2 \pi R - 2 \pi r} \right ) = v \frac{R}{R - r}$.
2-й способ. Качение катушки без скольжения по плоскости в любой момент можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси $B$. Это следует из того, что точка $B$ катушки неподвижна. Таким образом, известно, что $v_{B} = 0, v_{A} = v$. Следовательно, $v_{0} = \frac{vR}{R - г}$, так как линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.
При $R = r$ и $v \neq 0$ ответ теряет смысл. Поясним это. Пусть скорость центра катушки $v_{0}$ задана. Тогда скорость конца нитки определяется соотношением $v = \frac{R - r}{R} v_{0}$, и при $R \rightarrow r$ $v \rightarrow 0$ при любом значении скорости $v_{0}$. При $R = r$ конец нитки "не замечает", катится ли катушка, или она неподвижна. Следовательно, при $R = r$ скорость конца нитки может быть равной только нулю. Из формулы $v_{0} = \frac{vR}{R - r}$ при этом мы получаем, что $v_{0} = 0/0$, т. е. $v_{0}$ не определена.
