Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11367
2019-11-17 
На рис. а схематически изображен шарикоподшипник в разрезе. Требуется описать движение одного из шариков, если радиусы внешнего и внутреннего колец равны $R_{1}$ и $R_{2}$, а их угловые скорости - $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно. Проскальзывание между кольцами и шариками отсутствует.
Решение:
Движение любого шарика можно представить как сумму двух движений: поступательного со скоростью $v$ (при этом центр О шарика движется по окружности радиусом $R = \frac{R_{1} + R_{2}}{2}$) и вращения вокруг собственного центра О с угловой скоростью $\omega$.
Тогда мгновенные скорости точек $A$ и $B$ шарика будут равны $v_{A} = v + \omega r, v_{B} = v - \omega r$, где $r$ - радиус шарика, $r = \frac{R_{1} - R_{2}}{2}$.
В выписанных соотношениях знаки согласованы с предполагаемыми направлениями скоростей $v$ и $\omega$, указанными на рисунке. Это не ограничивает общности ответа: при противоположных направлениях значения скоростей окажутся отрицательными.
Так как проскальзывания нет, скорости $v_{A}$ и $v_{B}$ должны быть равны мгновенным скоростям точек $A$ и $B$ внешнего и внутреннего колец соответственно, следовательно: $\omega_{1}R_{1} = v + \omega r, \omega_{2}R_{2} = v - \omega r$, откуда находим, что
$v = \frac{ \omega_{1}R_{1} + \omega_{2}R_{2} }{2}; \omega = \frac{ \omega_{1}R_{1} - \omega_{2}R_{2} }{R_{1} - R_{2} }$. (1)
Вместо скорости $v$ поступательного движения шарика можно найти угловую скорость $\omega_{0}$ вращения центра шарика $O$ вокруг центра подшипника $O_{1}$:
$\omega_{0} = \frac{v}{R} = \frac{ \omega_{1}R_{1} + \omega_{2}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$. (2)
Всегда полезно проверить ответ в тех простейших случаях, когда окончательный результат очевиден и без расчетов. Такими ситуациями в рассматриваемой задаче могут быть, например, следующие.
1. Скорости $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ таковы, что шарик вращается на месте. При этом, очевидно, $v_{A} = - v_{B}$, т. е. $\omega_{1}R_{1} = - \omega_{2}R_{2}$. Из соотношения (2) также следует, что $\omega_{0} = 0$.
2. Пусть $\omega_{1} = \omega_{2}$. Кольца и шарики неподвижны друг относительно друга, они как бы склеены. Следовательно, должно быть, что $\omega = \omega_{0} = \omega_{1} = \omega_{2}$, что и дают соотношения (1) и (2).
Известно, что прямую линию можно считать дугой окружности с бесконечно большим радиусом. Тарой подход дает возможность распространить полученные выше результаты на случай движения шарика, находящегося между двумя параллельными рейками (см. рис. б). Для этого надо в формулах (1) заменить $\omega_{1}R_{1}$ на $v_{1}$, $\omega_{2}R_{2}$ на $v_{2}, R_{1} - R_{2}$ на $2r$ (заметим, что в этом случае порознь взятые величины $\omega_{1}; \omega_{2}, R_{1}$ и $R_{2}$ не имеют физического смысла, но входящие в формулы (1) их комбинации обладают им). Тогда получим, что $v = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}, \omega = \frac{v_{1} - v_{2}}{2r}$.
На рис. а схематически изображен шарикоподшипник в разрезе. Требуется описать движение одного из шариков, если радиусы внешнего и внутреннего колец равны $R_{1}$ и $R_{2}$, а их угловые скорости - $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно. Проскальзывание между кольцами и шариками отсутствует.
Решение:
Движение любого шарика можно представить как сумму двух движений: поступательного со скоростью $v$ (при этом центр О шарика движется по окружности радиусом $R = \frac{R_{1} + R_{2}}{2}$) и вращения вокруг собственного центра О с угловой скоростью $\omega$.
Тогда мгновенные скорости точек $A$ и $B$ шарика будут равны $v_{A} = v + \omega r, v_{B} = v - \omega r$, где $r$ - радиус шарика, $r = \frac{R_{1} - R_{2}}{2}$.
В выписанных соотношениях знаки согласованы с предполагаемыми направлениями скоростей $v$ и $\omega$, указанными на рисунке. Это не ограничивает общности ответа: при противоположных направлениях значения скоростей окажутся отрицательными.
Так как проскальзывания нет, скорости $v_{A}$ и $v_{B}$ должны быть равны мгновенным скоростям точек $A$ и $B$ внешнего и внутреннего колец соответственно, следовательно: $\omega_{1}R_{1} = v + \omega r, \omega_{2}R_{2} = v - \omega r$, откуда находим, что
$v = \frac{ \omega_{1}R_{1} + \omega_{2}R_{2} }{2}; \omega = \frac{ \omega_{1}R_{1} - \omega_{2}R_{2} }{R_{1} - R_{2} }$. (1)
Вместо скорости $v$ поступательного движения шарика можно найти угловую скорость $\omega_{0}$ вращения центра шарика $O$ вокруг центра подшипника $O_{1}$:
$\omega_{0} = \frac{v}{R} = \frac{ \omega_{1}R_{1} + \omega_{2}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$. (2)
Всегда полезно проверить ответ в тех простейших случаях, когда окончательный результат очевиден и без расчетов. Такими ситуациями в рассматриваемой задаче могут быть, например, следующие.
1. Скорости $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ таковы, что шарик вращается на месте. При этом, очевидно, $v_{A} = - v_{B}$, т. е. $\omega_{1}R_{1} = - \omega_{2}R_{2}$. Из соотношения (2) также следует, что $\omega_{0} = 0$.
2. Пусть $\omega_{1} = \omega_{2}$. Кольца и шарики неподвижны друг относительно друга, они как бы склеены. Следовательно, должно быть, что $\omega = \omega_{0} = \omega_{1} = \omega_{2}$, что и дают соотношения (1) и (2).
Известно, что прямую линию можно считать дугой окружности с бесконечно большим радиусом. Тарой подход дает возможность распространить полученные выше результаты на случай движения шарика, находящегося между двумя параллельными рейками (см. рис. б). Для этого надо в формулах (1) заменить $\omega_{1}R_{1}$ на $v_{1}$, $\omega_{2}R_{2}$ на $v_{2}, R_{1} - R_{2}$ на $2r$ (заметим, что в этом случае порознь взятые величины $\omega_{1}; \omega_{2}, R_{1}$ и $R_{2}$ не имеют физического смысла, но входящие в формулы (1) их комбинации обладают им). Тогда получим, что $v = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}, \omega = \frac{v_{1} - v_{2}}{2r}$.
