Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11366
2019-11-17 
К тележке прикреплена веревка, перекинутая через неподвижный блок В. Конец веревки вытягивают со скоростью $v$. Определить скорость $v_{0}$ движения тележки по горизонтальному столу в тот момент, когда конец веревки, привязанный к тележке, составляет угол $\alpha$ с горизонтом (см. рис. а).
Решение:
Приведем сначала ошибочное рассуждение, с которым часто приходится встречаться: так как веревка нерастяжима, то независимо от наклона части веревки, расположенной справа от блока, точка А тележки движется со скоростью $\vec{v}$. Проекция этой скорости на горизонтальное направление равна величине $v \cos \alpha$, а тележка движется по горизонтали. Следовательно, скорость тележки $v_{0}$ равна величине $v \cos \alpha$.
В действительности вывод "следовательно" не только необоснован, но и неверен. Приведем несколько возражений, каждого из которых достаточно для того, чтобы убедиться в ошибочности решения.
1. Величина $\vec{v}$ не является скоростью движения точки А, так как A движется горизонтально. Вектор $\vec{v}$, направленный вдоль А В, имеет какой-то другой физический смысл.
2. Заметим, что при заданной скорости вытягивания веревки скорость тележки растет с ростом угла $\alpha (0 \leq \alpha < \pi /2)$. Действительно, представьте себе, что тележка находится почти под блоком. Нетрудно догадаться, что при этом значительные перемещения тележки вправо или влево вызовут лишь сравнительно небольшие перемещения нити справа от блока. Следовательно, ответ не может быть вида $v_{0} = v \cos \alpha$.
3. Поскольку $A$ движется горизонтально, вертикальная проекция скорости $\vec{v}$ не имеет физического смысла. Поэтому величине $v \cos \alpha$ также нельзя приписать указанный в "решении" физический смысл.
Каким же образом получить верное решение? Укажем два способа.
1-й способ. Прежде всего необходимо сообразить, что величина $v$ есть скорость, с которой укорачивается отрезок $AB$ нити слева от блока. Для вычисления величины $v_{0}$ воспользуемся очевидным утверждением: если $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ есть перемещения двух равномерно движущихся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ тел, совершенные за один и тот же промежуток времени, то $\frac{ \Delta S_{1}}{ \Delta S_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$.
Рассмотрим положения тележки и нити в два момента времени, разделенных интервалом $\Delta t$. Тележка переместилась из положения $A$ в положение $A_{1}$, т. е. прошла расстояние $\Delta l_{0} = AA_{1}$. Нить переместилась из положения $AB$ в положение $A_{1}B$, причем ее длина уменьшилась на величину $\Delta l = AC (CB = A_{1}B)$, так что $\Delta l = v \Delta t$ (см. рис. б). Так как скорость тележки зависит от угла $\alpha$, интервал времени $\Delta t$ следует выбрать настолько малым, чтобы угол $\alpha$ не успел заметно измениться, и скорость тележки можно было считать постоянной, т. е. $AA_{1} \ll A_{1}B$. При этом $\Delta l_{0} = v_{0} \Delta t$, а $\angle ACA_{1} \approx 90^{ \circ}$. Тогда из $\angle ACA_{1}$ находим, что $\frac{l}{ \Delta l_{0} } \approx \frac{1}{ \cos \alpha}$, причем последнее приближенное равенство превращается в строгое при $\Delta t \rightarrow 0$. Значит, $v_{0} = \frac{v}{ \cos \alpha}$.
2-й способ. Рассмотрим вспомогательную задачу. В некоторой системе отсчета заданы положения и скорости двух точек $A$ и $B$ в один и тот же момент времени, при этом $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{0}, \vec{v}_{B} = 0$. С какой скоростью точка $A$ приближается к точке $B$ (см. рис. в)?
Разложим вектор $\vec{v}_{0}$ на две взаимно перпендикулярные составляющие такие, что одна из них направлена вдоль $AB$. Тогда можно считать, что точка $A$ участвует в двух движениях со скоростями $\vec{v}$ и $\vec{v}_{1}$. Если бы точка $A$ двигалась только со скоростью $\vec{v}_{1}$, то расстояние $AB$ не менялось бы; следовательно, скорость приближения $A$ к $B$ есть проекция скорости $\vec{v}_{0}$ на направление $AB$.
Вернемся к исходной задаче. Скорость $\vec{v}$, направленная вдоль $AB$, есть, очевидно, скорость приближения $A$ к $B$. Скорость же точки $A$ $\vec{v}_{0}$ по условию направлена горизонтально. Следовательно, скорость $\vec{v}$ есть проекция скорости $\vec{v}_{0}$ на направление $AB$, т. в. $v_{0} = \frac{v}{ \cos \alpha}$.
Полезно обратить внимание на то, что движение точки $A$ можно представить как сумму двух движений, одно из которых происходит в направлении к блоку. Какой вид имеет другое движение? Теперь ясно, что это - движение со скоростью $v_{1} = v tg \alpha$, $v_{1} \perp AB$, т. e. вращение вокруг точки $B$. Из рис. б хорошо видно, что точка $A$, приближаясь к блоку, одновременно вращается вокруг него против часовой стрелки.
К тележке прикреплена веревка, перекинутая через неподвижный блок В. Конец веревки вытягивают со скоростью $v$. Определить скорость $v_{0}$ движения тележки по горизонтальному столу в тот момент, когда конец веревки, привязанный к тележке, составляет угол $\alpha$ с горизонтом (см. рис. а).
Решение:
Приведем сначала ошибочное рассуждение, с которым часто приходится встречаться: так как веревка нерастяжима, то независимо от наклона части веревки, расположенной справа от блока, точка А тележки движется со скоростью $\vec{v}$. Проекция этой скорости на горизонтальное направление равна величине $v \cos \alpha$, а тележка движется по горизонтали. Следовательно, скорость тележки $v_{0}$ равна величине $v \cos \alpha$.
В действительности вывод "следовательно" не только необоснован, но и неверен. Приведем несколько возражений, каждого из которых достаточно для того, чтобы убедиться в ошибочности решения.
1. Величина $\vec{v}$ не является скоростью движения точки А, так как A движется горизонтально. Вектор $\vec{v}$, направленный вдоль А В, имеет какой-то другой физический смысл.
2. Заметим, что при заданной скорости вытягивания веревки скорость тележки растет с ростом угла $\alpha (0 \leq \alpha < \pi /2)$. Действительно, представьте себе, что тележка находится почти под блоком. Нетрудно догадаться, что при этом значительные перемещения тележки вправо или влево вызовут лишь сравнительно небольшие перемещения нити справа от блока. Следовательно, ответ не может быть вида $v_{0} = v \cos \alpha$.
3. Поскольку $A$ движется горизонтально, вертикальная проекция скорости $\vec{v}$ не имеет физического смысла. Поэтому величине $v \cos \alpha$ также нельзя приписать указанный в "решении" физический смысл.
Каким же образом получить верное решение? Укажем два способа.
1-й способ. Прежде всего необходимо сообразить, что величина $v$ есть скорость, с которой укорачивается отрезок $AB$ нити слева от блока. Для вычисления величины $v_{0}$ воспользуемся очевидным утверждением: если $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ есть перемещения двух равномерно движущихся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ тел, совершенные за один и тот же промежуток времени, то $\frac{ \Delta S_{1}}{ \Delta S_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$.
Рассмотрим положения тележки и нити в два момента времени, разделенных интервалом $\Delta t$. Тележка переместилась из положения $A$ в положение $A_{1}$, т. е. прошла расстояние $\Delta l_{0} = AA_{1}$. Нить переместилась из положения $AB$ в положение $A_{1}B$, причем ее длина уменьшилась на величину $\Delta l = AC (CB = A_{1}B)$, так что $\Delta l = v \Delta t$ (см. рис. б). Так как скорость тележки зависит от угла $\alpha$, интервал времени $\Delta t$ следует выбрать настолько малым, чтобы угол $\alpha$ не успел заметно измениться, и скорость тележки можно было считать постоянной, т. е. $AA_{1} \ll A_{1}B$. При этом $\Delta l_{0} = v_{0} \Delta t$, а $\angle ACA_{1} \approx 90^{ \circ}$. Тогда из $\angle ACA_{1}$ находим, что $\frac{l}{ \Delta l_{0} } \approx \frac{1}{ \cos \alpha}$, причем последнее приближенное равенство превращается в строгое при $\Delta t \rightarrow 0$. Значит, $v_{0} = \frac{v}{ \cos \alpha}$.
2-й способ. Рассмотрим вспомогательную задачу. В некоторой системе отсчета заданы положения и скорости двух точек $A$ и $B$ в один и тот же момент времени, при этом $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{0}, \vec{v}_{B} = 0$. С какой скоростью точка $A$ приближается к точке $B$ (см. рис. в)?
Разложим вектор $\vec{v}_{0}$ на две взаимно перпендикулярные составляющие такие, что одна из них направлена вдоль $AB$. Тогда можно считать, что точка $A$ участвует в двух движениях со скоростями $\vec{v}$ и $\vec{v}_{1}$. Если бы точка $A$ двигалась только со скоростью $\vec{v}_{1}$, то расстояние $AB$ не менялось бы; следовательно, скорость приближения $A$ к $B$ есть проекция скорости $\vec{v}_{0}$ на направление $AB$.
Вернемся к исходной задаче. Скорость $\vec{v}$, направленная вдоль $AB$, есть, очевидно, скорость приближения $A$ к $B$. Скорость же точки $A$ $\vec{v}_{0}$ по условию направлена горизонтально. Следовательно, скорость $\vec{v}$ есть проекция скорости $\vec{v}_{0}$ на направление $AB$, т. в. $v_{0} = \frac{v}{ \cos \alpha}$.
Полезно обратить внимание на то, что движение точки $A$ можно представить как сумму двух движений, одно из которых происходит в направлении к блоку. Какой вид имеет другое движение? Теперь ясно, что это - движение со скоростью $v_{1} = v tg \alpha$, $v_{1} \perp AB$, т. e. вращение вокруг точки $B$. Из рис. б хорошо видно, что точка $A$, приближаясь к блоку, одновременно вращается вокруг него против часовой стрелки.
