Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11338
2019-11-13 
Пусть металлическое кольцо (рис.) помещено в переменное магнитное поле. Тогда в кольце возникнет индукционный ток, силу которого в некоторый момент мы обозначим через $I$.
Возьмем на кольце совершенно произвольно точки A и В и сопротивление большей части кольца, заключенной между ними, обозначим через $R$, а сопротивление меньшей - через $r$.
Тогда разность потенциалов на концах участка АrВ на основании закона Ома можно выразить через сопротивление участка и силу тока, по нему протекающего, следующим образом:
$\phi_{A} - \phi_{B} = Ir$.
На том же основании для участка BRA можно записать:
$\phi_{B} - \phi_{A} = IR$.
Поскольку участки имеют своими концами одни и те же точки, то левые части обоих равенств должны быть равными, так как каждая точка может иметь в данной конкретной ситуации только одно значение потенциала. Из этого заключаем, что должны быть равными и правые части написанных выше выражений, то есть
$Ir = IR$.
Сокращая на силу тока $I$, получаем явную нелепость:
$r = R$.
Примечание. Было бы, разумеется, более логичным, приравнивая правые части равенств, брать их с различными знаками. Но окончательный результат от этого стал бы еще только более абсурдным:
$r = - R$.
Решение:
Этот софизм тесно связан с рассмотренной ранее задачей 11332. Как и там, нелепый вывод получен из-за неправильного применения закона Ома.
Разность потенциалов на концах некоторого участка цепи можно получить, перемножив сопротивление участка и силу тока, протекающего по нему, только в том случае, если на участке не содержится источников электродвижущей силы (батарей, генераторов постоянного тока и т. п.). Такие участки называют однородными.
В рассматриваемом случае любой участок кольца является неоднородным, так как индуцируемая электродвижущая сила равномерно распределена по всему кольцу.
В соответствии с формулой закона Ома для участка цепи, содержащего э.д.с. (неоднородного участка), мы можем записать для отрезка ARB, считая точку А начальной и В конечной, следующее равенство:
$\phi_{A} - \phi_{B} = IR - E_{ARB}$,
где $E_{ARB}$ - э.д.с., индуцируемая на участке ARB.
Если полная э.д.с., существующая в кольце, равна $E$, то сила тока, текущая по кольцу, может быть найдена из формулы:
$I = \frac{E}{R + r}$.
С другой стороны, долю э.д.с., сосредоточенную на каком-либо участке кольца, следует положить прямо пропорциональной длине участка или, при однородном проводнике, его сопротивлению. Тогда для $E_{ARB}$ получим:
$E_{ARB} = E \frac{R}{R + r}$.
Подставляя два последних выражения в первое, находим:
$\phi_{A} - \phi_{B} = \frac{E}{R + r} R - E \frac{R}{R + r} = 0$.
К такому же выводу можно прийти, применяя закон Ома к участку ВrА. В этом случае
$\phi_{B} - \phi_{A} = Ir - E_{BrA}$.
Сила тока, как и раньше, равна
$I = \frac{E}{R + r}$,
а для $E_{BrA}$ по высказанным ранее соображениям можно записать:
$E_{BrA} = E \frac{r}{R + r}$.
После этого получаем:
$\phi_{B} - \phi_{A} = \frac{E}{R + r} r - E \frac{r}{R + r} = 0$.
Таким образом, ток в электрической цепи может существовать и в том случае, когда разность потенциалов между двумя произвольно взятыми точками цепи равна нулю. В этом в сущности нет ничего удивительного, если вспомнить определение электрического тока: электрическим током называется направленное перемещение электрических зарядов. Но для перемещения зарядов наличие разности потенциалов совершенно не обязательно. Электрический ток, например, может быть образован потоком падающих заряженных песчинок или облаком заряженных частиц дыма, которое гонит ветер.
Более того, электрический ток может даже течь от большего потенциала к меньшему, как это в действительности имеет место внутри гальванического элемента.
Вода в реке движется под действием «разности потенциалов», однако в стакане чая при помешивании ложечкой вода движется, хотя «разности потенциалов» нет. Наконец, при выкачивании воды из колодца насосом ее частицы движутся в направлении противоположном «разности потенциалов» - весу воды.
Пусть металлическое кольцо (рис.) помещено в переменное магнитное поле. Тогда в кольце возникнет индукционный ток, силу которого в некоторый момент мы обозначим через $I$.
Возьмем на кольце совершенно произвольно точки A и В и сопротивление большей части кольца, заключенной между ними, обозначим через $R$, а сопротивление меньшей - через $r$.
Тогда разность потенциалов на концах участка АrВ на основании закона Ома можно выразить через сопротивление участка и силу тока, по нему протекающего, следующим образом:
$\phi_{A} - \phi_{B} = Ir$.
На том же основании для участка BRA можно записать:
$\phi_{B} - \phi_{A} = IR$.
Поскольку участки имеют своими концами одни и те же точки, то левые части обоих равенств должны быть равными, так как каждая точка может иметь в данной конкретной ситуации только одно значение потенциала. Из этого заключаем, что должны быть равными и правые части написанных выше выражений, то есть
$Ir = IR$.
Сокращая на силу тока $I$, получаем явную нелепость:
$r = R$.
Примечание. Было бы, разумеется, более логичным, приравнивая правые части равенств, брать их с различными знаками. Но окончательный результат от этого стал бы еще только более абсурдным:
$r = - R$.
Решение:
Этот софизм тесно связан с рассмотренной ранее задачей 11332. Как и там, нелепый вывод получен из-за неправильного применения закона Ома.
Разность потенциалов на концах некоторого участка цепи можно получить, перемножив сопротивление участка и силу тока, протекающего по нему, только в том случае, если на участке не содержится источников электродвижущей силы (батарей, генераторов постоянного тока и т. п.). Такие участки называют однородными.
В рассматриваемом случае любой участок кольца является неоднородным, так как индуцируемая электродвижущая сила равномерно распределена по всему кольцу.
В соответствии с формулой закона Ома для участка цепи, содержащего э.д.с. (неоднородного участка), мы можем записать для отрезка ARB, считая точку А начальной и В конечной, следующее равенство:
$\phi_{A} - \phi_{B} = IR - E_{ARB}$,
где $E_{ARB}$ - э.д.с., индуцируемая на участке ARB.
Если полная э.д.с., существующая в кольце, равна $E$, то сила тока, текущая по кольцу, может быть найдена из формулы:
$I = \frac{E}{R + r}$.
С другой стороны, долю э.д.с., сосредоточенную на каком-либо участке кольца, следует положить прямо пропорциональной длине участка или, при однородном проводнике, его сопротивлению. Тогда для $E_{ARB}$ получим:
$E_{ARB} = E \frac{R}{R + r}$.
Подставляя два последних выражения в первое, находим:
$\phi_{A} - \phi_{B} = \frac{E}{R + r} R - E \frac{R}{R + r} = 0$.
К такому же выводу можно прийти, применяя закон Ома к участку ВrА. В этом случае
$\phi_{B} - \phi_{A} = Ir - E_{BrA}$.
Сила тока, как и раньше, равна
$I = \frac{E}{R + r}$,
а для $E_{BrA}$ по высказанным ранее соображениям можно записать:
$E_{BrA} = E \frac{r}{R + r}$.
После этого получаем:
$\phi_{B} - \phi_{A} = \frac{E}{R + r} r - E \frac{r}{R + r} = 0$.
Таким образом, ток в электрической цепи может существовать и в том случае, когда разность потенциалов между двумя произвольно взятыми точками цепи равна нулю. В этом в сущности нет ничего удивительного, если вспомнить определение электрического тока: электрическим током называется направленное перемещение электрических зарядов. Но для перемещения зарядов наличие разности потенциалов совершенно не обязательно. Электрический ток, например, может быть образован потоком падающих заряженных песчинок или облаком заряженных частиц дыма, которое гонит ветер.
Более того, электрический ток может даже течь от большего потенциала к меньшему, как это в действительности имеет место внутри гальванического элемента.
Вода в реке движется под действием «разности потенциалов», однако в стакане чая при помешивании ложечкой вода движется, хотя «разности потенциалов» нет. Наконец, при выкачивании воды из колодца насосом ее частицы движутся в направлении противоположном «разности потенциалов» - весу воды.
