Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11334
2019-11-13 
Рассмотрим изображенную на рисунке схему. Обозначив сопротивление потребителя тока через $R$, а сопротивление источника тока через $r$, получим после очевидных преобразований следующее выражение для коэффициента использования электроэнергии:
$k = \frac{N_{использ} }{N_{полн} } = \frac{I^{2}R }{I^{2}(R + r) } = \frac{R}{R + r}$.
Эту формулу можно представить в виде:
$k = \frac{1}{1 + \frac{r}{R} }$.
Из последнего выражения видно, что, чем больше $R$ превышает $r$, тем коэффициент использования электроэнергии, иначе говоря коэффициент полезного действия всей установки, выше.
Почему же в таком случае потребитель и источник тока подбираются так, чтобы их сопротивления были по возможности равными, хотя при этом достигается к.п.д. только 50 % ?
Решение:
Действительно, чем больше $R$, тем коэффициент использования электроэнергии больше. Он достигает значения, равного единице, при «бесконечно большом» сопротивлении потребителя - случай, конечно, не осуществимый практически, но приблизиться к которому можно сколь угодно близко.
Однако делать сопротивление подключенного к источнику тока потребителя слишком большим нецелесообразно. При этом, правда, возрастает напряжение на нем, но больше э.д.с. источника тока оно стать не может, тогда как сила тока при неограниченном увеличении $R$ уменьшается также неограниченно. Таким образом, в формуле для мощности
$N=IU$
первый сомножитель при неограниченном росте сопротивления потребителя стремится к нулю, а второй не превышает некоторого конечного значения. Легко видеть, что забираемая от источника тока мощность будет в результате стремиться к нулю.
Не следует также брать потребитель и со слишком малым сопротивлением, так как в приведенной выше формуле мощности первый сомножитель не сможет стать больше $\frac{E}{r}$ (такой ток потечет при коротком замыкании, когда сопротивление потребителя равно нулю), тогда как напряжение на нагрузке при неограниченном уменьшении ее сопротивления будет стремиться к нулю.
Можно показать, что максимальное значение потребляемой мощности достигается при равенстве сопротивлений источника тока и нагрузки, подключенной к нему. В самом деле, запишем выражение для мощности, потребляемой внешним участком цепи, в следующем виде:
$N = \frac{E^{2} }{(R + r)^{2} } R$,
где буквенные обозначения те же, что были нами приняты ранее.
Помножим числитель и знаменатель на $4r$. Тогда
$N = \frac{E^{2} \cdot 4 Rr }{4r(R + r)^{2} }$.
Воспользовавшись тождеством $4Rr = (R + r)^{2} - (R-r)^{2}$, получим после несложных преобразований
$N = \frac{E^{2} }{4r } \left [ 1 - \frac{(R - r)^{2} }{(R + r)^{2} } \right ]$.
Отсюда сразу видно, что $N=0$ при $R = 0$ и $R = \infty$, а при $R = r$ мощность достигает максимума (поскольку и числитель и знаменатель дроби в квадратных скобках положительны, ее наименьшее значение равно нулю, что достигается при $R = r$).
Еще проще доказательство провести с помощью численного примера.
Пусть в нашем распоряжении имеется источник тока с электродвижущей силой 4 б и внутренним сопротивлением 1 ом. Тогда при различных значениях нагрузочного сопротивления мы будем получать следующие значения мощности, потребляемой от источника тока нагрузкой:
В связи с решением этой задачи полезно остановиться на роли выходных трансформаторов в радиоприемниках. Внутреннее сопротивление выходных ламп, приводящих в действие динамик, очень велико. Оно составляет десятки и сотни тысяч ом. В то же время катушка электродинамического громкоговорителя имеет сопротивление всего 5-10 ом, так как более высокоомные динамики изготовить технически очень трудно. Включив низкоомный динамик непосредственно в анодную цепь лампы, можно получить лишь небольшую звуковую мощность. Поэтому между лампой и динамиком в схеме предусматривается согласующий выходной трансформатор с высокоомной первичной катушкой и низкоомной вторичной. Его включение полезно также и потому, что в этом случае через динамик будет течь только переменная составляющая анодного тока.
Рассмотрим изображенную на рисунке схему. Обозначив сопротивление потребителя тока через $R$, а сопротивление источника тока через $r$, получим после очевидных преобразований следующее выражение для коэффициента использования электроэнергии:
$k = \frac{N_{использ} }{N_{полн} } = \frac{I^{2}R }{I^{2}(R + r) } = \frac{R}{R + r}$.
Эту формулу можно представить в виде:
$k = \frac{1}{1 + \frac{r}{R} }$.
Из последнего выражения видно, что, чем больше $R$ превышает $r$, тем коэффициент использования электроэнергии, иначе говоря коэффициент полезного действия всей установки, выше.
Почему же в таком случае потребитель и источник тока подбираются так, чтобы их сопротивления были по возможности равными, хотя при этом достигается к.п.д. только 50 % ?
Решение:
Действительно, чем больше $R$, тем коэффициент использования электроэнергии больше. Он достигает значения, равного единице, при «бесконечно большом» сопротивлении потребителя - случай, конечно, не осуществимый практически, но приблизиться к которому можно сколь угодно близко.
Однако делать сопротивление подключенного к источнику тока потребителя слишком большим нецелесообразно. При этом, правда, возрастает напряжение на нем, но больше э.д.с. источника тока оно стать не может, тогда как сила тока при неограниченном увеличении $R$ уменьшается также неограниченно. Таким образом, в формуле для мощности
$N=IU$
первый сомножитель при неограниченном росте сопротивления потребителя стремится к нулю, а второй не превышает некоторого конечного значения. Легко видеть, что забираемая от источника тока мощность будет в результате стремиться к нулю.
Не следует также брать потребитель и со слишком малым сопротивлением, так как в приведенной выше формуле мощности первый сомножитель не сможет стать больше $\frac{E}{r}$ (такой ток потечет при коротком замыкании, когда сопротивление потребителя равно нулю), тогда как напряжение на нагрузке при неограниченном уменьшении ее сопротивления будет стремиться к нулю.
Можно показать, что максимальное значение потребляемой мощности достигается при равенстве сопротивлений источника тока и нагрузки, подключенной к нему. В самом деле, запишем выражение для мощности, потребляемой внешним участком цепи, в следующем виде:
$N = \frac{E^{2} }{(R + r)^{2} } R$,
где буквенные обозначения те же, что были нами приняты ранее.
Помножим числитель и знаменатель на $4r$. Тогда
$N = \frac{E^{2} \cdot 4 Rr }{4r(R + r)^{2} }$.
Воспользовавшись тождеством $4Rr = (R + r)^{2} - (R-r)^{2}$, получим после несложных преобразований
$N = \frac{E^{2} }{4r } \left [ 1 - \frac{(R - r)^{2} }{(R + r)^{2} } \right ]$.
Отсюда сразу видно, что $N=0$ при $R = 0$ и $R = \infty$, а при $R = r$ мощность достигает максимума (поскольку и числитель и знаменатель дроби в квадратных скобках положительны, ее наименьшее значение равно нулю, что достигается при $R = r$).
Еще проще доказательство провести с помощью численного примера.
Пусть в нашем распоряжении имеется источник тока с электродвижущей силой 4 б и внутренним сопротивлением 1 ом. Тогда при различных значениях нагрузочного сопротивления мы будем получать следующие значения мощности, потребляемой от источника тока нагрузкой:
В связи с решением этой задачи полезно остановиться на роли выходных трансформаторов в радиоприемниках. Внутреннее сопротивление выходных ламп, приводящих в действие динамик, очень велико. Оно составляет десятки и сотни тысяч ом. В то же время катушка электродинамического громкоговорителя имеет сопротивление всего 5-10 ом, так как более высокоомные динамики изготовить технически очень трудно. Включив низкоомный динамик непосредственно в анодную цепь лампы, можно получить лишь небольшую звуковую мощность. Поэтому между лампой и динамиком в схеме предусматривается согласующий выходной трансформатор с высокоомной первичной катушкой и низкоомной вторичной. Его включение полезно также и потому, что в этом случае через динамик будет течь только переменная составляющая анодного тока.
