Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1131
2016-10-20 
В центре днища прямоугольной баржи длиной $a = 80 м$, шириной $b = 10 м$ и высотой $c = 5 м$ образовалось отверстие диаметром $d=1 см$. Оцените время, за которое баржа затонет, если не откачивать воду. Баржа открыта сверху, груза на ней нет, начальная высота бортов над уровнем воды $h = 3,75 м$.
Решение:
Так как действующая на баржу выталкивающая сила равна весу вытесненной ею воды, то при заполнении баржи сила, действующая со стороны воды, находящейся вне баржи, будет расти пропорционально количеству затекшей воды. Покажем, что при погружении баржи разность уровней воды внутри и вне баржи не будет изменяться со временем.
Обозначим массу баржи, не заполненной водой, через $m$. Тогда условие плавания баржи, в которой нет воды, имеет вид: $mg= \rho gab(c — h)$. Пусть теперь баржа погрузилась так, что высота её бортов над поверхностью воды стала равна $h_{1}$, а толщина слоя воды внутри баржи стала равна $l$ (см. рис.). Тогда условие плавания принимает вид $mg + \rho g abl = \rho g ab(c — h_{1})$. Из записанных соотношений получаем:
$c -h_{1} - l = c - h$,
то есть пока баржа плавает, разность уровней воды внутри и вне её в любой момент времени постоянна и равна разности высоты баржи и начальной высоты её борта над уровнем воды. Следовательно, вода будет поступать в баржу с постоянной скоростью, которую можно рассчитать при помощи уравнения Бернулли.
Примем уровень поверхности воды в водоёме за нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда для трубки тока, которая начинается на уровне воды в водоёме и заканчивается на срезе отверстия в трюме, можно записать: $p_{0} = (p_{0} + \rho gl) — \rho g(c — h_{1}) + \frac{ \rho v^{2}}{2}$, где $p_{0}$ — атмосферное давление, $\rho$ — плотность воды, $v$ — скорость воды в момент её затекания в баржу. Из двух последних уравнений, полагая $g \approx 10 м/с^{2}$, имеем: $v = \sqrt{2g(c-h)} \approx 5 м/с$.
Баржа затонет тогда, когда её борта сравняются с поверхностью воды, то есть уровень воды над дном баржи достигнет величины $h$. В этот момент внутри баржи будет содержаться объём воды $ = abh = Sv \Delta t$, где $S = \pi d^{2} /4$ — площадь отверстия, $\Delta t$ — искомое время, за которое объём воды в барже станет равен $V$. Отсюда, с учётом выражений для $S$ и $v$, окончательно находим:
$\Delta t = \frac{4abh}{ \pi d^{2} \sqrt{2g(c-h)}} \approx 7,6 \cdot 10^{6} \approx 2111 час. \approx 88 сут. \approx 3 мес$.
В центре днища прямоугольной баржи длиной $a = 80 м$, шириной $b = 10 м$ и высотой $c = 5 м$ образовалось отверстие диаметром $d=1 см$. Оцените время, за которое баржа затонет, если не откачивать воду. Баржа открыта сверху, груза на ней нет, начальная высота бортов над уровнем воды $h = 3,75 м$.
Решение:
Так как действующая на баржу выталкивающая сила равна весу вытесненной ею воды, то при заполнении баржи сила, действующая со стороны воды, находящейся вне баржи, будет расти пропорционально количеству затекшей воды. Покажем, что при погружении баржи разность уровней воды внутри и вне баржи не будет изменяться со временем.
Обозначим массу баржи, не заполненной водой, через $m$. Тогда условие плавания баржи, в которой нет воды, имеет вид: $mg= \rho gab(c — h)$. Пусть теперь баржа погрузилась так, что высота её бортов над поверхностью воды стала равна $h_{1}$, а толщина слоя воды внутри баржи стала равна $l$ (см. рис.). Тогда условие плавания принимает вид $mg + \rho g abl = \rho g ab(c — h_{1})$. Из записанных соотношений получаем:
$c -h_{1} - l = c - h$,
то есть пока баржа плавает, разность уровней воды внутри и вне её в любой момент времени постоянна и равна разности высоты баржи и начальной высоты её борта над уровнем воды. Следовательно, вода будет поступать в баржу с постоянной скоростью, которую можно рассчитать при помощи уравнения Бернулли.
Примем уровень поверхности воды в водоёме за нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда для трубки тока, которая начинается на уровне воды в водоёме и заканчивается на срезе отверстия в трюме, можно записать: $p_{0} = (p_{0} + \rho gl) — \rho g(c — h_{1}) + \frac{ \rho v^{2}}{2}$, где $p_{0}$ — атмосферное давление, $\rho$ — плотность воды, $v$ — скорость воды в момент её затекания в баржу. Из двух последних уравнений, полагая $g \approx 10 м/с^{2}$, имеем: $v = \sqrt{2g(c-h)} \approx 5 м/с$.
Баржа затонет тогда, когда её борта сравняются с поверхностью воды, то есть уровень воды над дном баржи достигнет величины $h$. В этот момент внутри баржи будет содержаться объём воды $ = abh = Sv \Delta t$, где $S = \pi d^{2} /4$ — площадь отверстия, $\Delta t$ — искомое время, за которое объём воды в барже станет равен $V$. Отсюда, с учётом выражений для $S$ и $v$, окончательно находим:
$\Delta t = \frac{4abh}{ \pi d^{2} \sqrt{2g(c-h)}} \approx 7,6 \cdot 10^{6} \approx 2111 час. \approx 88 сут. \approx 3 мес$.
