Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 113
2014-05-31 
На правой чаше весов с плечами $l_{1}$ и $l_{2}$ лежит камень массой $m$. Такой же камень падает на левую чашу весов с высоты $h_{1}$ с нулевой начальной скоростью (рис.). На какую высоту поднимется правый камень, если удары абсолютно упругие, а весы жесткие и их массой можно пренебречь?
Решение:
Прежде всего следует отметить, что время свободного полета правого и левого камней значительно превышает время удара камня о чашу весов. Действительно, камни и весы абсолютно жесткие, т. е. любые сколь угодно малые деформации при ударе приводят к появлению бесконечно больших сил упругости. Эти большие силы, действуя в течение очень малых промежутков времени, вызывают большие ускорения и, следовательно, быстрые изменения скорости. Расстояния $\tilde{h_{1}}$ и $\tilde{h_{2}}$, на которые опускаются или поднимаются чаши весов за время удара, значительно меньше высоты свободного падения левого камня $h_{1}$ и высоты подъема правого камня $h_{2}$.
За время свободного падения до момента удара левый камень приобретает скорость $v_{1}$, которую можно найти из закона сохранения энергии:
$mgh_{1}=\frac{mv_{1}^{2}}{2}$.
В процессе удара кинетическая энергия $E_{1}$ левого камня меняется и становится равной
$\tilde {E_{1}}=\frac{m \tilde {v_{1}^{2}}}{2}$,
где $\tilde{v_{1}}$ - скорость левого камня после удара. Правый камень после удара получает скорость $\tilde{v_{2}}$ и кинетическую энергию
$\tilde {E_{2}}=\frac{m \tilde {v_{2}^{2}}}{2}$,
Полная энергия в процессе удара не меняется, поэтому
$mgh_{1}=\frac{m \tilde{v_{1}^{2}}}{2}+\frac{m \tilde{v_{2}^{2}}}{2}$. (1)
Наличие у правого камня скорости после удара позволяет ему подняться на высоту $h_{2}$:
$mgh_{2}=\frac{m \tilde{v_{2}^{2}}}{2}$. (2)
Из полученных выражений невозможно определить высоту $h_{2}$, так как есть еще не определенная величина $\tilde{v_{1}}$.
Для нахождения $\tilde{v_{1}}$ учтем, что изменения скорости левого и правого камней происходят из-за действия сил со стороны весов.
Пусть на камни действуют в процессе удара средние силы $F_{1}$ и $F_{2}$ в течение времени $T$. Изменение импульса левого камня за это время
$mv_{1} – m \tilde {v_{1}} = F_{1}T$, (3)
изменение импульса правого камня
$m \tilde{v_{2}}=F_{2}T$. (4)
В этих равенствах не учитывается сила тяжести, так как силы $F_{1}$, очень велики и значительно превышают $mg$. Силы, с которыми силы действуют на весы, равны по величине $F_{1}$ и $F_{2}$. Сумма моментов сил, действующих на весы, должна быть равна нулю, так как масса весов пренебрежимо мала:
$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$. (5)
Из равенств (3) - (5) получаем:
$\tilde{v_{1}} = v_{1} - \frac{l_{2}}{l_{1}} \tilde{v_{2}}$ (6)
Теперь можно из соотношений (1), (2) и (6) определить высоту подъема правого камня:
$h_{2}=\frac{4l_{1}^{2}l_{2}^{2}}{(l_{2}^{2}+l_{1}^{2})^{2}} h_{1}$
Отметим, что при $l_{1} \neq l_{2}$ неравенство $h_{2} < h_{1}$ выполняется независимо от того, на какой чаше весов лежит этот камень (с коротким или длинным плечом).
На правой чаше весов с плечами $l_{1}$ и $l_{2}$ лежит камень массой $m$. Такой же камень падает на левую чашу весов с высоты $h_{1}$ с нулевой начальной скоростью (рис.). На какую высоту поднимется правый камень, если удары абсолютно упругие, а весы жесткие и их массой можно пренебречь?
Решение:
Прежде всего следует отметить, что время свободного полета правого и левого камней значительно превышает время удара камня о чашу весов. Действительно, камни и весы абсолютно жесткие, т. е. любые сколь угодно малые деформации при ударе приводят к появлению бесконечно больших сил упругости. Эти большие силы, действуя в течение очень малых промежутков времени, вызывают большие ускорения и, следовательно, быстрые изменения скорости. Расстояния $\tilde{h_{1}}$ и $\tilde{h_{2}}$, на которые опускаются или поднимаются чаши весов за время удара, значительно меньше высоты свободного падения левого камня $h_{1}$ и высоты подъема правого камня $h_{2}$.
За время свободного падения до момента удара левый камень приобретает скорость $v_{1}$, которую можно найти из закона сохранения энергии:
$mgh_{1}=\frac{mv_{1}^{2}}{2}$.
В процессе удара кинетическая энергия $E_{1}$ левого камня меняется и становится равной
$\tilde {E_{1}}=\frac{m \tilde {v_{1}^{2}}}{2}$,
где $\tilde{v_{1}}$ - скорость левого камня после удара. Правый камень после удара получает скорость $\tilde{v_{2}}$ и кинетическую энергию
$\tilde {E_{2}}=\frac{m \tilde {v_{2}^{2}}}{2}$,
Полная энергия в процессе удара не меняется, поэтому
$mgh_{1}=\frac{m \tilde{v_{1}^{2}}}{2}+\frac{m \tilde{v_{2}^{2}}}{2}$. (1)
Наличие у правого камня скорости после удара позволяет ему подняться на высоту $h_{2}$:
$mgh_{2}=\frac{m \tilde{v_{2}^{2}}}{2}$. (2)
Из полученных выражений невозможно определить высоту $h_{2}$, так как есть еще не определенная величина $\tilde{v_{1}}$.
Для нахождения $\tilde{v_{1}}$ учтем, что изменения скорости левого и правого камней происходят из-за действия сил со стороны весов.
Пусть на камни действуют в процессе удара средние силы $F_{1}$ и $F_{2}$ в течение времени $T$. Изменение импульса левого камня за это время
$mv_{1} – m \tilde {v_{1}} = F_{1}T$, (3)
изменение импульса правого камня
$m \tilde{v_{2}}=F_{2}T$. (4)
В этих равенствах не учитывается сила тяжести, так как силы $F_{1}$, очень велики и значительно превышают $mg$. Силы, с которыми силы действуют на весы, равны по величине $F_{1}$ и $F_{2}$. Сумма моментов сил, действующих на весы, должна быть равна нулю, так как масса весов пренебрежимо мала:
$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$. (5)
Из равенств (3) - (5) получаем:
$\tilde{v_{1}} = v_{1} - \frac{l_{2}}{l_{1}} \tilde{v_{2}}$ (6)
Теперь можно из соотношений (1), (2) и (6) определить высоту подъема правого камня:
$h_{2}=\frac{4l_{1}^{2}l_{2}^{2}}{(l_{2}^{2}+l_{1}^{2})^{2}} h_{1}$
Отметим, что при $l_{1} \neq l_{2}$ неравенство $h_{2} < h_{1}$ выполняется независимо от того, на какой чаше весов лежит этот камень (с коротким или длинным плечом).
