Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11296
2019-11-13 
В школьном учебнике физики формула для периода колебания математического маятника приводится без доказательства. Между тем можно предложить простой
вывод зависимости периода колебания маятника от его длины и ускорения силы тяжести, не требующий для понимания большой математической подготовки. Этот вывод мы и предлагаем вниманию читателей.
При малых углах отклонения (а только при этих условиях справедлива приводимая^ обычно формула маятника) дугу АВ (рис.) можно заменить хофдой АВ. Из равнобедренного треугольника АОВ для длины хорды АВ имеем значение:
$AB = 2 \cdot OB \cdot \cos \alpha = 2l \cdot \cos \alpha$.
Движение маятника по этому пути можно рассматривать как равноускоренное, так как на маятник в направлении движения, то есть в направлении хорды АВ, действует составляющая сила тяжести
$P_{1} = P \cdot \cos \alpha = mg \cdot \cos \alpha$,
сообщающая ему, следовательно, ускорение
$a = g \cdot \cos \alpha$.
При равноускоренном движении путь, время и усш> рение связаны зависимостью
$t = \sqrt{ \frac{2s}{a} }$.
Подставляя сюда значение ускорения при движении по хорде АВ и ее длину, а также учитывая, что период в четыре раза больше времени, необходимого для прохождения пути АВ, получим для искомой величины
$T = 8 \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
Почему же в приводимой в учебниках формуле перед квадратным корнем стоит коэффициент $2 \pi$, то есть примерно 6,28?
Решение:
Обычно ошибку в приведенном «выводе» усматривают в замене дуги хордой. Между тем при малых углах отклонения такая замена вполне законна и допустим, и ошибка заключается в другом.
Вычисляя время движения маятника по хорде АВ, мы полагали ускорение в направлении движения все время постоянным и равным $a = g \cos \alpha$, где угол $\alpha$ соответствует наибольшему отклонению маятника от положения равновесия.
На самом же деле ускорение маятника в данном случае является переменной величиной, достигающей максимума в моменты наибольшего отклонения и обращающейся в нуль при прохождении положения равновесия. Иначе говоря, ошибка состоит в незаконном использовании формул равнопеременного движения, тогда как в гармоническом колебательном движении скорость, время, путь и ускорение связаны гораздо более сложными соотношениями.
В школьном учебнике физики формула для периода колебания математического маятника приводится без доказательства. Между тем можно предложить простой
вывод зависимости периода колебания маятника от его длины и ускорения силы тяжести, не требующий для понимания большой математической подготовки. Этот вывод мы и предлагаем вниманию читателей.
При малых углах отклонения (а только при этих условиях справедлива приводимая^ обычно формула маятника) дугу АВ (рис.) можно заменить хофдой АВ. Из равнобедренного треугольника АОВ для длины хорды АВ имеем значение:
$AB = 2 \cdot OB \cdot \cos \alpha = 2l \cdot \cos \alpha$.
Движение маятника по этому пути можно рассматривать как равноускоренное, так как на маятник в направлении движения, то есть в направлении хорды АВ, действует составляющая сила тяжести
$P_{1} = P \cdot \cos \alpha = mg \cdot \cos \alpha$,
сообщающая ему, следовательно, ускорение
$a = g \cdot \cos \alpha$.
При равноускоренном движении путь, время и усш> рение связаны зависимостью
$t = \sqrt{ \frac{2s}{a} }$.
Подставляя сюда значение ускорения при движении по хорде АВ и ее длину, а также учитывая, что период в четыре раза больше времени, необходимого для прохождения пути АВ, получим для искомой величины
$T = 8 \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
Почему же в приводимой в учебниках формуле перед квадратным корнем стоит коэффициент $2 \pi$, то есть примерно 6,28?
Решение:
Обычно ошибку в приведенном «выводе» усматривают в замене дуги хордой. Между тем при малых углах отклонения такая замена вполне законна и допустим, и ошибка заключается в другом.
Вычисляя время движения маятника по хорде АВ, мы полагали ускорение в направлении движения все время постоянным и равным $a = g \cos \alpha$, где угол $\alpha$ соответствует наибольшему отклонению маятника от положения равновесия.
На самом же деле ускорение маятника в данном случае является переменной величиной, достигающей максимума в моменты наибольшего отклонения и обращающейся в нуль при прохождении положения равновесия. Иначе говоря, ошибка состоит в незаконном использовании формул равнопеременного движения, тогда как в гармоническом колебательном движении скорость, время, путь и ускорение связаны гораздо более сложными соотношениями.
