Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11293
2019-11-13 
После того как обруч скатится с горки высотой $H$, его потенциальная энергия уменьшится; если при этом трение пренебрежимо мало, то ровно настолько же возрастет кинетическая энергия.
Исходя из закона сохранения энергии, имеем:
$mgH = \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда конечная скорость обруча
$v = \sqrt{2 gH}$.
Полагая высоту горки $H$ равной 4,9 м, найдем
$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{м}{сек^{2} } \cdot 4,9 м } = 9,8 \frac{м}{сек}$.
Однако опыт даст для скорости обруча, скатившегося с горки такой высоты, примерно 6,9 м/сек, то есть почти в полтора раза меньше. Такое большое расхождение с теорией отнести за счет трения никак нельзя. В чем же тогда причина?
Решение:
Скатываясь с горки, обруч участвует одновременно в двух движениях: его центр тяжести перемещается поступательно, в то время как все точки обруча совершают, кроме того, вращательное движение, ось которого проходит через центр тяжести.
Поэтому правую часть написанного в условии задачи равенства, выражающего закон сохранения энергии, необходимо дополнить еще одним членом, представляющим кинетическую энергию вращательного движения:\
$mgH = W_{поступ.}^{кинет.} + W_{вращат.}^{кинет.}$
Рассматривая рисунок, нетрудно видеть, что точки сбруча движутся относительно его центра с такой же скоростью, с какой центр движется относительно земной поверхности. Действительно, выберем на обруче точку В, соприкасающуюся в данный момент с землей, а поэтому неподвижную относительно нее. Если центр обруча обладает относительно земли скоростью $v$, то такой же скоростью он обладает относительно В. Но если центр А движется относительно В со скоростью $v$, то и точка В движется относительно А с такой же скоростью. Все точки обруча равноправны, и если одна из них движется относительно центра со скоростью $v$, то это же можно сказать и о других. На основании этого заключаем, что можно записать следующее равенство:
$W_{поступ.}^{кинет.} = W_{вращат.}^{кинет.}$.
Но
$W_{поступ.}^{кинет.} = \frac{mv^{2} }{2}$.
Поэтому
$mgH = mv^{2}$.
Отсюда для скорости, приобретенной обручем, имеем:
$v = \sqrt{gH}$.
Подставляя сюда $H = 4,9 м$, найдем:
$v = \sqrt{9,8 \frac{м}{сек^{2}} \cdot 4,9 м} \approx 6,9 \frac{м}{сек^{2} }$
Аналогичным образом следует решать задачи на вычисление скорости скатившихся с горки шара, диска и других тел. Но эти случаи сложнее, так как скорости точек, различно удаленных от центров диска, шара и т. п., различны, что сильно затрудняет вычисление кинетической энергии, связанной с вращательным движением. Для решения задач в подобных случаях приходится вводить понятие о моменте инерции, играющем в динамике вращательного движения такую же роль, как масса в поступательном движении. Если тело соскальзываете наклонной плоскости, не вращаясь, то $W_{поступ.}^{кинет.} = 0$ и скорость может быть вычислена по формуле, приведенной в тексте софизма.
Убедиться в справедливости изложенных здесь соображений нетрудно на опыте, сравнивая время скатывания с наклонной плоскости двух одинаковых бутылок, имеющих равный вес, наполненных одна водой, а другая- смесью песка и опилок.
При движении первой бутылки ее потенциальная энергия почти целиком превращается в кинетическую энергию поступательного движения, поскольку вода не принимает участия во вращении, за исключением весьма тонкого слоя, прилегающего к стенкам бутылки (массой самой бутылки в этом и следующем далее рассуждении мы для простоты пренебрегаем).
Смесь песка и опилок вращается вместе с бутылкой и значительная доля потенциальной энергии бутылки превращается в кинетическую энергию вращательного движения. Поэтому кинетическая энергия и, следовательно, скорость поступательного движения для второй бутылки оказывается меньше.
Показав этот легко воспроизводимый опыт, можно попросить учащихся попробовать объяснить его.
После того как обруч скатится с горки высотой $H$, его потенциальная энергия уменьшится; если при этом трение пренебрежимо мало, то ровно настолько же возрастет кинетическая энергия.
Исходя из закона сохранения энергии, имеем:
$mgH = \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда конечная скорость обруча
$v = \sqrt{2 gH}$.
Полагая высоту горки $H$ равной 4,9 м, найдем
$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{м}{сек^{2} } \cdot 4,9 м } = 9,8 \frac{м}{сек}$.
Однако опыт даст для скорости обруча, скатившегося с горки такой высоты, примерно 6,9 м/сек, то есть почти в полтора раза меньше. Такое большое расхождение с теорией отнести за счет трения никак нельзя. В чем же тогда причина?
Решение:
Скатываясь с горки, обруч участвует одновременно в двух движениях: его центр тяжести перемещается поступательно, в то время как все точки обруча совершают, кроме того, вращательное движение, ось которого проходит через центр тяжести.
Поэтому правую часть написанного в условии задачи равенства, выражающего закон сохранения энергии, необходимо дополнить еще одним членом, представляющим кинетическую энергию вращательного движения:\
$mgH = W_{поступ.}^{кинет.} + W_{вращат.}^{кинет.}$
Рассматривая рисунок, нетрудно видеть, что точки сбруча движутся относительно его центра с такой же скоростью, с какой центр движется относительно земной поверхности. Действительно, выберем на обруче точку В, соприкасающуюся в данный момент с землей, а поэтому неподвижную относительно нее. Если центр обруча обладает относительно земли скоростью $v$, то такой же скоростью он обладает относительно В. Но если центр А движется относительно В со скоростью $v$, то и точка В движется относительно А с такой же скоростью. Все точки обруча равноправны, и если одна из них движется относительно центра со скоростью $v$, то это же можно сказать и о других. На основании этого заключаем, что можно записать следующее равенство:
$W_{поступ.}^{кинет.} = W_{вращат.}^{кинет.}$.
Но
$W_{поступ.}^{кинет.} = \frac{mv^{2} }{2}$.
Поэтому
$mgH = mv^{2}$.
Отсюда для скорости, приобретенной обручем, имеем:
$v = \sqrt{gH}$.
Подставляя сюда $H = 4,9 м$, найдем:
$v = \sqrt{9,8 \frac{м}{сек^{2}} \cdot 4,9 м} \approx 6,9 \frac{м}{сек^{2} }$
Аналогичным образом следует решать задачи на вычисление скорости скатившихся с горки шара, диска и других тел. Но эти случаи сложнее, так как скорости точек, различно удаленных от центров диска, шара и т. п., различны, что сильно затрудняет вычисление кинетической энергии, связанной с вращательным движением. Для решения задач в подобных случаях приходится вводить понятие о моменте инерции, играющем в динамике вращательного движения такую же роль, как масса в поступательном движении. Если тело соскальзываете наклонной плоскости, не вращаясь, то $W_{поступ.}^{кинет.} = 0$ и скорость может быть вычислена по формуле, приведенной в тексте софизма.
Убедиться в справедливости изложенных здесь соображений нетрудно на опыте, сравнивая время скатывания с наклонной плоскости двух одинаковых бутылок, имеющих равный вес, наполненных одна водой, а другая- смесью песка и опилок.
При движении первой бутылки ее потенциальная энергия почти целиком превращается в кинетическую энергию поступательного движения, поскольку вода не принимает участия во вращении, за исключением весьма тонкого слоя, прилегающего к стенкам бутылки (массой самой бутылки в этом и следующем далее рассуждении мы для простоты пренебрегаем).
Смесь песка и опилок вращается вместе с бутылкой и значительная доля потенциальной энергии бутылки превращается в кинетическую энергию вращательного движения. Поэтому кинетическая энергия и, следовательно, скорость поступательного движения для второй бутылки оказывается меньше.
Показав этот легко воспроизводимый опыт, можно попросить учащихся попробовать объяснить его.
