2016-10-20
Однородное бревно квадратного сечения размером $a \times a$ и длиной $L \gg a$ в исходном состоянии держат параллельно поверхности воды так, что оно касается воды своей длинной гранью (см. рисунок). Плотность бревна $\rho$ равна плотности воды. Бревно отпускают. Найдите количество теплоты, которое выделится, пока система не придёт в равновесие.
Решение:
Так как плотность бревна равна плотности воды, то в конечном состоянии равновесия бревно окажется полностью погруженным в воду. Вначале, после отпускания бревна, под действием силы тяжести оно приобретёт некоторую скорость, затем по инерции пройдёт под водой какое-то расстояние, постепенно тормозясь, и в конце концов остановится на некоторой глубине под поверхностью воды.
Пусть центр масс бревна при погружении опустился на расстояние $h$. Тогда потенциальная энергия бревна уменьшилась на величину $\Delta U_{1} = mgh$, где $m = \rho La^{2}$ — масса бревна. При этом бревном был вытеснен на поверхность объём воды в форме прямоугольного параллелепипеда массой $m$. Можно считать, что эта вода «растеклась» по поверхности тонким слоем, то есть её центр масс поднялся на высоту $(h — (a/2))$, а её потенциальная энергия увеличилась на $\Delta U_{2} = mg(h — (a/2))$. Искомое количество теплоты равно разности этих двух величин:
$\Delta Q = \Delta U_{1} - \Delta U_{2} = \frac{mga}{2} = \frac{ \rho g La^{3}}{2}$.