Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11288
2019-11-13 
Тот факт, что величина $A$ связана с величиной $B$ прямой пропорциональной зависимостью, принято записывать так:
$A = k \cdot B$,
где величина $k$ носит название коэффициента пропорциональности.
Величина работы $A$, произведенной силой $F$ на пути $s$, пропорциональна как силе, так и пути. Должны, следовательно, выполняться следующие два равенства:
$A = k_{1} \cdot F$ (1)
и
$A = k_{2} \cdot s$. (2)
Перемножим эти равенства почленно:
$A^{2} = k_{1} \cdot k_{2} \cdot F \cdot s$. (3)
Произведение $k_{1} \cdot k_{2}$ обозначим через $k_{3}^{2}$. Тогда равенство (3) можно переписать в следующем виде:
$A^{2} = k_{3}^{2} \cdot F \cdot s$.
Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получаем:
$A = k_{3} \cdot \sqrt{F \cdot s}$, (4)
то есть работа пропорциональна корню квадратному из произведения силы на пройденный путь.
Но это еще не все! Ведь можно поступить иначе. Поделим почленно равенство (2) на равенство (1);
$1 = \frac{k_{2} \cdot s }{k_{1} \cdot F }$.
Обозначив отношение $\frac{k_{2} }{k_{1} }$ через $k_{4}$, получаем:
$F = k_{4}s$. (5)
Физически это означает, что сила становится тем больше, чем больший путь пройден под ее действием. Как объяснить эти несуразности?
Решение:
Формула (1) выражает тот факт, что при одном и том же пути произведенная работа тем больше, чем больше сила, производящая работу. Аналогичным образом из выражения (2) следует, что для одной и той же силы работа растет с увеличением пройденного пути. (Следует добиться четкого понимания у учащихся, что работа с увеличением силы в два раза возрастает также вдвое только в том случае, когда путь в обоих случаях одинаков; или работа с возрастанием пути увеличивается равным образом, лишь если остается неизменной сила.) Таким образом, то, что считалось постоянным в формуле (1), оказывается переменным в выражении (2), и наоборот. Следовательно, в равенствах (4) и (5), полученных из (1) и (2) путем их почленного перемножения и деления, необходимо допустить возможность изменения как $k_{1}$, так и $k_{2}$. Отсюда вытекает, что $k_{3}$ и $k_{4}$ не являются постоянными коэффициентами. В самом деле, из смысла $k_{1}$ и $k_{2}$ следует, что
$k_{3} = \sqrt{Fs}$ и $k_{4} = \frac{F}{s}$.
Подставив эти значения коэффициентов $k_{3}$ и $k_{4}$ в равенства (4) и (5) соответственно, получим, очевидно, не вызывающие никаких сомнений выражения:
$A = \sqrt{ Fs} \cdot \sqrt{Fs} = Fs$ и $F = \frac{F}{s} s = F$.
Приведенный софизм относится не только к формуле работы, но, разумеется, и ко всем формулам, аналитически выраженным одночленами.
Например, при равномерном движении пройденный путь пропорционален скорости и времени. Записав этот факт в виде двух формул:
$s = k_{1}v$ и $s = k_{2}t$,
получим
$s = k_{3} \sqrt{vt}$, где $k_{3} = \sqrt{k_{1} k_{2}} = \sqrt{vt}$
или
$v = k_{4}t$, где $k_{4} = \frac{k_{2}}{k_{1} } = \frac{v}{t}$.
Тот факт, что величина $A$ связана с величиной $B$ прямой пропорциональной зависимостью, принято записывать так:
$A = k \cdot B$,
где величина $k$ носит название коэффициента пропорциональности.
Величина работы $A$, произведенной силой $F$ на пути $s$, пропорциональна как силе, так и пути. Должны, следовательно, выполняться следующие два равенства:
$A = k_{1} \cdot F$ (1)
и
$A = k_{2} \cdot s$. (2)
Перемножим эти равенства почленно:
$A^{2} = k_{1} \cdot k_{2} \cdot F \cdot s$. (3)
Произведение $k_{1} \cdot k_{2}$ обозначим через $k_{3}^{2}$. Тогда равенство (3) можно переписать в следующем виде:
$A^{2} = k_{3}^{2} \cdot F \cdot s$.
Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получаем:
$A = k_{3} \cdot \sqrt{F \cdot s}$, (4)
то есть работа пропорциональна корню квадратному из произведения силы на пройденный путь.
Но это еще не все! Ведь можно поступить иначе. Поделим почленно равенство (2) на равенство (1);
$1 = \frac{k_{2} \cdot s }{k_{1} \cdot F }$.
Обозначив отношение $\frac{k_{2} }{k_{1} }$ через $k_{4}$, получаем:
$F = k_{4}s$. (5)
Физически это означает, что сила становится тем больше, чем больший путь пройден под ее действием. Как объяснить эти несуразности?
Решение:
Формула (1) выражает тот факт, что при одном и том же пути произведенная работа тем больше, чем больше сила, производящая работу. Аналогичным образом из выражения (2) следует, что для одной и той же силы работа растет с увеличением пройденного пути. (Следует добиться четкого понимания у учащихся, что работа с увеличением силы в два раза возрастает также вдвое только в том случае, когда путь в обоих случаях одинаков; или работа с возрастанием пути увеличивается равным образом, лишь если остается неизменной сила.) Таким образом, то, что считалось постоянным в формуле (1), оказывается переменным в выражении (2), и наоборот. Следовательно, в равенствах (4) и (5), полученных из (1) и (2) путем их почленного перемножения и деления, необходимо допустить возможность изменения как $k_{1}$, так и $k_{2}$. Отсюда вытекает, что $k_{3}$ и $k_{4}$ не являются постоянными коэффициентами. В самом деле, из смысла $k_{1}$ и $k_{2}$ следует, что
$k_{3} = \sqrt{Fs}$ и $k_{4} = \frac{F}{s}$.
Подставив эти значения коэффициентов $k_{3}$ и $k_{4}$ в равенства (4) и (5) соответственно, получим, очевидно, не вызывающие никаких сомнений выражения:
$A = \sqrt{ Fs} \cdot \sqrt{Fs} = Fs$ и $F = \frac{F}{s} s = F$.
Приведенный софизм относится не только к формуле работы, но, разумеется, и ко всем формулам, аналитически выраженным одночленами.
Например, при равномерном движении пройденный путь пропорционален скорости и времени. Записав этот факт в виде двух формул:
$s = k_{1}v$ и $s = k_{2}t$,
получим
$s = k_{3} \sqrt{vt}$, где $k_{3} = \sqrt{k_{1} k_{2}} = \sqrt{vt}$
или
$v = k_{4}t$, где $k_{4} = \frac{k_{2}}{k_{1} } = \frac{v}{t}$.
