Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11287
2019-11-13 
Приливы и отливы в морях и океанах вызываются, как известно, притяжением вод Солнцем и Луной. Солнце расположено от Земли в 390 раз дальше Луны, его масса в 27 000 000 раз превышает лунную, так что все земные предметы притягиваются к Солнцу в
$\frac{27 \cdot 10^{6}}{390^{2}} = 180$ раз
сильнее, чем к Луне.
Казалось бы, что солнечные приливы должны быть поэтому значительно сильнее лунных. Однако на самом деле приливы, вызываемые Луной, несколько заметнее.
Чем же объяснить этот парадокс?
Решение:
В конечном счете величина приливов и отливов определяется не столько самой силой притяжения к Солнцу или Луне, сколько разностью сил, с которыми притягиваются к небесному светилу тело, находящееся вблизи центра Земли, и тело такой же массы, расположенное на ее поверхности. Если бы эти силы были равны, они сообщали бы Земле в целом и океанским водам одинаковое ускорение, так что они двигались бы, как единое целое, и приливные волны не возникали бы.
Однако центр Земли находится от Луны (или Солнца) несколько дальше, чем частицы воды в океане, расположенном на стороне, обращенной к Луне (Солнцу). Поэтому их ускорения будут различаться на величину (см. рис.):
$\Delta a = \frac{ \gamma M}{(d - R)^{2} } - \frac{ \gamma M}{d^{2} } = \gamma M \frac{d^{2} - (d - R)^{2} }{d^{2}(d - R)^{2} }$.
где $M$ - масса небесного тела, $d$ - расстояние от его центра до центра Земли, $R$ - радиус Земли и $\gamma$ - гравитационная постоянная.
Поскольку в обоих случаях $R \ll d$, то
$\Delta a \approx \frac{ \gamma M \cdot 2Rd}{d^{2} \cdot d^{2} } = 2R \frac{ \gamma M}{d^{3} }$.
По отношению к «нормальному» ускорению силы тяжести $g$ разница составит
$\frac{ \Delta a}{g} = 2R \frac{ \gamma M}{d^{3} } : \frac{ \gamma M_{з} }{R^{2} } = 2 \frac{M}{M_{з} } \left ( \frac{R}{d} \right )^{3}$,
где $M_{з}$ - масса Земли. Для Луны
$\frac{M}{M_{з} } = \frac{1}{81}$ и $\frac{R}{d} = \frac{1}{60}$.
Отсюда для относительного уменьшения ускорения (и значит для относительного уменьшения силы тяжести на стороне, обращенной к Луне) получаем:
$\frac{ \Delta a}{g} = \frac{ \Delta P}{P} = \frac{2}{81 \cdot 60^{3} } \approx \frac{1}{9000000}$.
Для Солнца
$\frac{M}{M_{з} } = 332400$ и $\frac{R}{d} = \frac{1}{23500}$.
Из этих данных получаем
$\frac{ \Delta a}{g} = \frac{ \Delta P}{P} \approx \frac{1}{19 000000}$.
Таким образом, солнечные приливы должны быть действительно примерно в два раза слабее лунных.
Приливы и отливы в морях и океанах вызываются, как известно, притяжением вод Солнцем и Луной. Солнце расположено от Земли в 390 раз дальше Луны, его масса в 27 000 000 раз превышает лунную, так что все земные предметы притягиваются к Солнцу в
$\frac{27 \cdot 10^{6}}{390^{2}} = 180$ раз
сильнее, чем к Луне.
Казалось бы, что солнечные приливы должны быть поэтому значительно сильнее лунных. Однако на самом деле приливы, вызываемые Луной, несколько заметнее.
Чем же объяснить этот парадокс?
Решение:
В конечном счете величина приливов и отливов определяется не столько самой силой притяжения к Солнцу или Луне, сколько разностью сил, с которыми притягиваются к небесному светилу тело, находящееся вблизи центра Земли, и тело такой же массы, расположенное на ее поверхности. Если бы эти силы были равны, они сообщали бы Земле в целом и океанским водам одинаковое ускорение, так что они двигались бы, как единое целое, и приливные волны не возникали бы.
Однако центр Земли находится от Луны (или Солнца) несколько дальше, чем частицы воды в океане, расположенном на стороне, обращенной к Луне (Солнцу). Поэтому их ускорения будут различаться на величину (см. рис.):
$\Delta a = \frac{ \gamma M}{(d - R)^{2} } - \frac{ \gamma M}{d^{2} } = \gamma M \frac{d^{2} - (d - R)^{2} }{d^{2}(d - R)^{2} }$.
где $M$ - масса небесного тела, $d$ - расстояние от его центра до центра Земли, $R$ - радиус Земли и $\gamma$ - гравитационная постоянная.
Поскольку в обоих случаях $R \ll d$, то
$\Delta a \approx \frac{ \gamma M \cdot 2Rd}{d^{2} \cdot d^{2} } = 2R \frac{ \gamma M}{d^{3} }$.
По отношению к «нормальному» ускорению силы тяжести $g$ разница составит
$\frac{ \Delta a}{g} = 2R \frac{ \gamma M}{d^{3} } : \frac{ \gamma M_{з} }{R^{2} } = 2 \frac{M}{M_{з} } \left ( \frac{R}{d} \right )^{3}$,
где $M_{з}$ - масса Земли. Для Луны
$\frac{M}{M_{з} } = \frac{1}{81}$ и $\frac{R}{d} = \frac{1}{60}$.
Отсюда для относительного уменьшения ускорения (и значит для относительного уменьшения силы тяжести на стороне, обращенной к Луне) получаем:
$\frac{ \Delta a}{g} = \frac{ \Delta P}{P} = \frac{2}{81 \cdot 60^{3} } \approx \frac{1}{9000000}$.
Для Солнца
$\frac{M}{M_{з} } = 332400$ и $\frac{R}{d} = \frac{1}{23500}$.
Из этих данных получаем
$\frac{ \Delta a}{g} = \frac{ \Delta P}{P} \approx \frac{1}{19 000000}$.
Таким образом, солнечные приливы должны быть действительно примерно в два раза слабее лунных.
