Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11280
2019-11-13 
Три одинаковых шарика $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$ подвешены на невесомых пружинах I и II один под другим так, что расстояния АВ и ВС между ними равны, как это показано на рисунке, и центр тяжести системы совпадает с центром шарика $M_{2}$. Если разрезать нить, удерживающую шарик $M_{1}$, вся система начнет падать под действием силы тяжести.
Как известно, ускорение силы тяжести системы можно найти, поделив сумму внешних сил, приложенных к системе, на ее массу:
$a = \frac{M_{1}g + M_{2}g + M_{3}g}{M_{1} + M_{2} + M_{3} } = \frac{3Mg}{2M} = g$.
Однако приведенные ниже соображения как будто бы опровергают этот вывод.
Действительно, пружина I тянет шарик $M_{2}$ вверх сильнее, чем пружина II тянет его вниз, так как их натяжения и перед разрезанием нити и сразу же после него равны соответственно:
$f_{I} = 2Mg$ и $f_{II} = Mg$.
Следовательно, шарик $M_{2}$ (центр тяжести системы) должен падать с ускорением, меньшим $g$.
Как объяснить полученное противоречие?
Решение:
Найдем вначале ускорения всех шариков сразу же после разрезания нити. Считая силы и ускорения, направленные вниз, положительными, получим для ускорений следующие выражения:
$a_{1} = \frac{M_{1}g + f_{I} }{M_{1} } = \frac{Mg + 2Mg}{M} = 3g$;
$a_{2} = {M_{2}g - f_{I} + f_{II}}{M_{2} } = \frac{Mg - 2Mg + Mg }{M} = 0$;
$a_{3} = \frac{M_{3}g - f_{II} }{M_{3} } = \frac{Mg - Mg}{M} = 0$.
Таким образом, ускорение шарика $M_{2}$ и в самом деле не равно $g$. Но это тем не менее никак не противоречит утверждению, что при свободном падении центр тяжести системы должен двигаться с ускорением земного тяготения. Все дело в том, что центр тяжести системы совпадает с центром шарика $M_{2}$ лишь в состоянии покоя, что непосредственно вытекает из равенства масс шариков и расстояний АВ и ВС. Однако последнее равенство сразу же после разрезания нити нарушается. В самом деле, упругость пружины I, очевидно, больше упругости пружины II, так как при разных растягивающих силах они растянуты одинаково. Поэтому после разрезания нити первая пружина начнет сокращаться быстрее, чем вторая; расстояния АВ и ВС перестанут быть равными и центр тяжести системы начнет перемещаться вниз от шарика $M_{2}$. Для нахождения положения центра тяжести в некоторый момент времени $t$ воспользуемся обычной формулой:
$x_{c} = \frac{M_{1}x_{1} + M_{2}x_{2} + M_{3}x_{3}}{M_{1} + M_{2} + M_{3} } = \frac{M(x_{1} + x_{2} + x_{3} )}{3M} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3}$.
Совместим начало координат с центром шарика $M_{3}$ и направим ось $x$ вертикально вниз. Поскольку начальные ускорение и скорость шарика $M_{3}$ равны нулю, то $x_{3} = 0$. Тогда абсцисса $x_{2}$ шарика $M_{2}$ после разрезания нити будет равна постоянной величине - $l$ ($l$ - длина пружины II), так как начальные скорость и ускорение для него также равны нулю. В то же время для шарика $M_{1}$ получаем:
$x_{1} = - \left ( 2l - \frac{a_{1}t^{2} }{2} \right ) = - 2l + \frac{3gt^{2} }{2}$.
Подставляя эти значения в выражение для нахождения положения центра тяжести, получаем:
$x_{c} = \frac{-2l \frac{3gt^{2} }{2} - l + 0 }{3} = - l + \frac{gt^{2} }{2}$.
Мы получили уравнение, из которого видно, что центр тяжести системы, как и следовало ожидать, движется вниз (ускорение положительно, а начальная скорость равна нулю!) с ускорением $g$.
Три одинаковых шарика $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$ подвешены на невесомых пружинах I и II один под другим так, что расстояния АВ и ВС между ними равны, как это показано на рисунке, и центр тяжести системы совпадает с центром шарика $M_{2}$. Если разрезать нить, удерживающую шарик $M_{1}$, вся система начнет падать под действием силы тяжести.
Как известно, ускорение силы тяжести системы можно найти, поделив сумму внешних сил, приложенных к системе, на ее массу:
$a = \frac{M_{1}g + M_{2}g + M_{3}g}{M_{1} + M_{2} + M_{3} } = \frac{3Mg}{2M} = g$.
Однако приведенные ниже соображения как будто бы опровергают этот вывод.
Действительно, пружина I тянет шарик $M_{2}$ вверх сильнее, чем пружина II тянет его вниз, так как их натяжения и перед разрезанием нити и сразу же после него равны соответственно:
$f_{I} = 2Mg$ и $f_{II} = Mg$.
Следовательно, шарик $M_{2}$ (центр тяжести системы) должен падать с ускорением, меньшим $g$.
Как объяснить полученное противоречие?
Решение:
Найдем вначале ускорения всех шариков сразу же после разрезания нити. Считая силы и ускорения, направленные вниз, положительными, получим для ускорений следующие выражения:
$a_{1} = \frac{M_{1}g + f_{I} }{M_{1} } = \frac{Mg + 2Mg}{M} = 3g$;
$a_{2} = {M_{2}g - f_{I} + f_{II}}{M_{2} } = \frac{Mg - 2Mg + Mg }{M} = 0$;
$a_{3} = \frac{M_{3}g - f_{II} }{M_{3} } = \frac{Mg - Mg}{M} = 0$.
Таким образом, ускорение шарика $M_{2}$ и в самом деле не равно $g$. Но это тем не менее никак не противоречит утверждению, что при свободном падении центр тяжести системы должен двигаться с ускорением земного тяготения. Все дело в том, что центр тяжести системы совпадает с центром шарика $M_{2}$ лишь в состоянии покоя, что непосредственно вытекает из равенства масс шариков и расстояний АВ и ВС. Однако последнее равенство сразу же после разрезания нити нарушается. В самом деле, упругость пружины I, очевидно, больше упругости пружины II, так как при разных растягивающих силах они растянуты одинаково. Поэтому после разрезания нити первая пружина начнет сокращаться быстрее, чем вторая; расстояния АВ и ВС перестанут быть равными и центр тяжести системы начнет перемещаться вниз от шарика $M_{2}$. Для нахождения положения центра тяжести в некоторый момент времени $t$ воспользуемся обычной формулой:
$x_{c} = \frac{M_{1}x_{1} + M_{2}x_{2} + M_{3}x_{3}}{M_{1} + M_{2} + M_{3} } = \frac{M(x_{1} + x_{2} + x_{3} )}{3M} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} }{3}$.
Совместим начало координат с центром шарика $M_{3}$ и направим ось $x$ вертикально вниз. Поскольку начальные ускорение и скорость шарика $M_{3}$ равны нулю, то $x_{3} = 0$. Тогда абсцисса $x_{2}$ шарика $M_{2}$ после разрезания нити будет равна постоянной величине - $l$ ($l$ - длина пружины II), так как начальные скорость и ускорение для него также равны нулю. В то же время для шарика $M_{1}$ получаем:
$x_{1} = - \left ( 2l - \frac{a_{1}t^{2} }{2} \right ) = - 2l + \frac{3gt^{2} }{2}$.
Подставляя эти значения в выражение для нахождения положения центра тяжести, получаем:
$x_{c} = \frac{-2l \frac{3gt^{2} }{2} - l + 0 }{3} = - l + \frac{gt^{2} }{2}$.
Мы получили уравнение, из которого видно, что центр тяжести системы, как и следовало ожидать, движется вниз (ускорение положительно, а начальная скорость равна нулю!) с ускорением $g$.
