Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1128
2016-10-20 
Три одинаковых длинных бруса квадратного сечения плавают в воде параллельно друг другу. При наведении переправы поперёк них положили жёсткую однородную балку массой $m$ и длиной $L$ так, что она концами опирается на середины крайних брусьев, а расстояние от конца балки до среднего бруса, нагруженного также посередине, равно $l$. Найдите силы давления балки на брусья, считая, что их поперечные размеры много меньше $L$, и что балка лежит почти горизонтально, не касаясь воды.
Решение:
рис.1
рис.2
Когда балку положили на брусья (см. рис. 1), они немного погрузились в воду, причём очевидно, что дополнительные глубины их погружения $\Delta h_{1,2,3}$ пропорциональны искомым силам давления балки на брусья: $F_{1,2,3} = \rho gS \Delta h_{1,2,3}$, где $\rho$ - плотность воды, $S$ — площадь продольного сечения брусьев. Запишем условия равновесия балки. Сумма сил и сумма моментов сил, например, относительно оси, проходящей параллельно брусьям через левый конец балки, должны быть равны нулю:
$mg = F_{1} + F_{2} + F_{3}, F_{2}l + F_{3}L = \frac{mgL}{2}$.
Этих уравнений недостаточно для того, чтобы найти силы $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$. Ещё одно — недостающее — уравнение можно получить, использовав то обстоятельство, что балка является жёсткой и лежит почти горизонтально. Из рисунка 2 видно, что связь между величинами $\Delta h_{i}$ при этих условиях имеет вид: $tg \alpha \approx \frac{ \Delta h_{1} - \Delta h_{2}}{l} = \frac{ \Delta h_{1} - \Delta h_{3}}{L}$.
Поскольку $F_{i} \sim \Delta h_{i}$, то отсюда
$\frac{F_{1}-F_{2}}{l} = \frac{F_{1}-F_{3}}{L}$
Решая полученную систему уравнений, получаем:
$F_{1} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{L^{2}+2l^{2} - lL}{L^{2} + l^{2} - lL}; F_{2} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{L^{2}}{L^{2} + l^{2} - lL}; F_{3} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{2(L^{2}+l^{2}) - 3lL}{L^{2} + l^{2} - lL}$
Нетрудно убедиться, что при $l = L/2$ из полученных формул следует, что $F_{1} = F_{2} = F_{3} = mg/3$, то есть если второй брус лежит точно под серединой балки, то нагрузка на брусья распределяется равномерно.
Три одинаковых длинных бруса квадратного сечения плавают в воде параллельно друг другу. При наведении переправы поперёк них положили жёсткую однородную балку массой $m$ и длиной $L$ так, что она концами опирается на середины крайних брусьев, а расстояние от конца балки до среднего бруса, нагруженного также посередине, равно $l$. Найдите силы давления балки на брусья, считая, что их поперечные размеры много меньше $L$, и что балка лежит почти горизонтально, не касаясь воды.
Решение:
рис.1
рис.2
Когда балку положили на брусья (см. рис. 1), они немного погрузились в воду, причём очевидно, что дополнительные глубины их погружения $\Delta h_{1,2,3}$ пропорциональны искомым силам давления балки на брусья: $F_{1,2,3} = \rho gS \Delta h_{1,2,3}$, где $\rho$ - плотность воды, $S$ — площадь продольного сечения брусьев. Запишем условия равновесия балки. Сумма сил и сумма моментов сил, например, относительно оси, проходящей параллельно брусьям через левый конец балки, должны быть равны нулю:
$mg = F_{1} + F_{2} + F_{3}, F_{2}l + F_{3}L = \frac{mgL}{2}$.
Этих уравнений недостаточно для того, чтобы найти силы $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$. Ещё одно — недостающее — уравнение можно получить, использовав то обстоятельство, что балка является жёсткой и лежит почти горизонтально. Из рисунка 2 видно, что связь между величинами $\Delta h_{i}$ при этих условиях имеет вид: $tg \alpha \approx \frac{ \Delta h_{1} - \Delta h_{2}}{l} = \frac{ \Delta h_{1} - \Delta h_{3}}{L}$.
Поскольку $F_{i} \sim \Delta h_{i}$, то отсюда
$\frac{F_{1}-F_{2}}{l} = \frac{F_{1}-F_{3}}{L}$
Решая полученную систему уравнений, получаем:
$F_{1} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{L^{2}+2l^{2} - lL}{L^{2} + l^{2} - lL}; F_{2} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{L^{2}}{L^{2} + l^{2} - lL}; F_{3} = \frac{mg}{4} \cdot \frac{2(L^{2}+l^{2}) - 3lL}{L^{2} + l^{2} - lL}$
Нетрудно убедиться, что при $l = L/2$ из полученных формул следует, что $F_{1} = F_{2} = F_{3} = mg/3$, то есть если второй брус лежит точно под серединой балки, то нагрузка на брусья распределяется равномерно.
