Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1127
2016-10-20 
Плавающая на поверхности воды прямоугольная льдина, продольные размеры которой много больше её толщины, выдерживает груз массой $M$, помещённый в центре. Какой груз можно разместить на краю льдины (в середине её ребра), чтобы он не коснулся воды? Плотность льда считайте равной $0,9 г/см^{3}$, плотность воды — $1,0 г/см^{3}$.
Решение:
Груз массой $M$, помещённый в центр льдины, заставляет её почти полностью погрузиться в воду, и при этом смещение центра масс льдины в вертикальном направлении составляет, очевидно, одну десятую часть её толщины $H$. Груз массой $m$, если его поместить в центр льдины, заставит ее погрузиться на $\Delta h_{1} = \frac{m}{M} \cdot \frac{H}{10}$. Если теперь переместить этот груз на середину ребра прямоугольной льдины, имеющего длину $l$, то смещение её центра масс по отношению к уровню воды практически не изменится и останется равным $\Delta h_{1}$, а сама льдина наклонится от горизонтального положения на некоторый угол $\alpha$. Сумма сил и сумма моментов сил, действующих на льдину, в положении равновесия равны нулю, а её край с грузом $m$ находится на уровне воды. Обозначим длину ребра льдины, соседнего с ребром, на котором лежит груз, через $L$. Поскольку по условию $H \ll L$, а края льдины не погрузились под воду, то угол наклона льдины мал: $\alpha \ll 1$. При таком наклоне суммарная сила, действующая на льдину со стороны воды, практически не изменяется, но на льдину со стороны воды начинает действовать момент выталкивающих сил, поскольку с одной стороны от центра масс нижняя поверхность льдины дополнительно погружается в воду, а с другой — поднимается. Для вычисления этого момента относительно центра льдины масс необходимо просуммировать моменты сил, действующих на полоски нижней (подводной) части льдины, расположенные на расстояниях $—L/2 \leq x \leq L/2$ от центра масс. На полоску шириной $\Delta x$ и длиной $l$, погрузившуюся дополнительно на глубину $\alpha x$, действует дополнительная выталкивающая сила $\rho g \alpha xl \Delta x$, так что её момент равен $\rho g \alpha lx^{2} \Delta x$, а искомый суммарный момент выталкивающих сил равен $\alpha \rho gl L^{3} /12$. Здесь $\rho$ — это плотность воды.
Этот момент выталкивающих сил, действующий на льдину со стороны воды, уравновешивает момент силы относительно центра масс льдины, действующий на неё со стороны груза массой $m$ и равный, очевидно, $mgL/2$. Таким образом, в положении равновесия должно выполняться соотношение: $\alpha \rho glL^{3}/12 = mgL/2$. Отсюда находим связь между $m, \alpha$ и величиной $\Delta h_{2}$ дополнительного опускания края льдины за счёт её наклона: $\Delta h_{2} = \alpha L/2 = 3m/( \rho lL)$.
Вместе с опусканием центра масс по вертикали на величину $\Delta h_{1}$ общее вертикальное смещение края льдины с лежащим на нём грузом не должно быть больше, чем $H/10$. Запишем это условие в виде неравенства:
$\Delta h_{1} + \Delta h_{2} = \frac{mH}{10M} + \frac{3m}{ \rho lL} < \frac{H}{10}$.
Учтём, что $M = \rho SlH/10$. Отсюда найдём, что на краю льдины в середине её ребра можно разместить груз массой $m < M/4$.
Заметим, что такой груз можно положить на середину любого из верхних рёбер льдины, так как их длины $l$ и $L$ входят в полученное неравенство в виде произведения.
Плавающая на поверхности воды прямоугольная льдина, продольные размеры которой много больше её толщины, выдерживает груз массой $M$, помещённый в центре. Какой груз можно разместить на краю льдины (в середине её ребра), чтобы он не коснулся воды? Плотность льда считайте равной $0,9 г/см^{3}$, плотность воды — $1,0 г/см^{3}$.
Решение:
Груз массой $M$, помещённый в центр льдины, заставляет её почти полностью погрузиться в воду, и при этом смещение центра масс льдины в вертикальном направлении составляет, очевидно, одну десятую часть её толщины $H$. Груз массой $m$, если его поместить в центр льдины, заставит ее погрузиться на $\Delta h_{1} = \frac{m}{M} \cdot \frac{H}{10}$. Если теперь переместить этот груз на середину ребра прямоугольной льдины, имеющего длину $l$, то смещение её центра масс по отношению к уровню воды практически не изменится и останется равным $\Delta h_{1}$, а сама льдина наклонится от горизонтального положения на некоторый угол $\alpha$. Сумма сил и сумма моментов сил, действующих на льдину, в положении равновесия равны нулю, а её край с грузом $m$ находится на уровне воды. Обозначим длину ребра льдины, соседнего с ребром, на котором лежит груз, через $L$. Поскольку по условию $H \ll L$, а края льдины не погрузились под воду, то угол наклона льдины мал: $\alpha \ll 1$. При таком наклоне суммарная сила, действующая на льдину со стороны воды, практически не изменяется, но на льдину со стороны воды начинает действовать момент выталкивающих сил, поскольку с одной стороны от центра масс нижняя поверхность льдины дополнительно погружается в воду, а с другой — поднимается. Для вычисления этого момента относительно центра льдины масс необходимо просуммировать моменты сил, действующих на полоски нижней (подводной) части льдины, расположенные на расстояниях $—L/2 \leq x \leq L/2$ от центра масс. На полоску шириной $\Delta x$ и длиной $l$, погрузившуюся дополнительно на глубину $\alpha x$, действует дополнительная выталкивающая сила $\rho g \alpha xl \Delta x$, так что её момент равен $\rho g \alpha lx^{2} \Delta x$, а искомый суммарный момент выталкивающих сил равен $\alpha \rho gl L^{3} /12$. Здесь $\rho$ — это плотность воды.
Этот момент выталкивающих сил, действующий на льдину со стороны воды, уравновешивает момент силы относительно центра масс льдины, действующий на неё со стороны груза массой $m$ и равный, очевидно, $mgL/2$. Таким образом, в положении равновесия должно выполняться соотношение: $\alpha \rho glL^{3}/12 = mgL/2$. Отсюда находим связь между $m, \alpha$ и величиной $\Delta h_{2}$ дополнительного опускания края льдины за счёт её наклона: $\Delta h_{2} = \alpha L/2 = 3m/( \rho lL)$.
Вместе с опусканием центра масс по вертикали на величину $\Delta h_{1}$ общее вертикальное смещение края льдины с лежащим на нём грузом не должно быть больше, чем $H/10$. Запишем это условие в виде неравенства:
$\Delta h_{1} + \Delta h_{2} = \frac{mH}{10M} + \frac{3m}{ \rho lL} < \frac{H}{10}$.
Учтём, что $M = \rho SlH/10$. Отсюда найдём, что на краю льдины в середине её ребра можно разместить груз массой $m < M/4$.
Заметим, что такой груз можно положить на середину любого из верхних рёбер льдины, так как их длины $l$ и $L$ входят в полученное неравенство в виде произведения.
