Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11267
2019-11-13 
Стоящий на берегу человек подтягивает лодку, выбирая с некоторой постоянной скоростью $v_{в}$ привязанную к носу лодки веревку. Разложим скорость $v_{в}$ так, как показано на рисунке. Тогда для скорости лодки $v_{л}$ получим:
$v_{л} = v_{в} \cos \alpha$.
Из этой формулы следует, что, чем больше угол $\alpha$, то есть чем ближе лодка к берегу, тем скорость ее меньше. На самом же деле наоборот - по мере приближения лодки к берегу ее скорость возрастает, в чем легко убедиться на опыте. Достаточно привязать к карандашу нитку и потянуть за нее так, как тянули лодку.
В чем же причина разногласий между теорией и опытом?
Решение:
Поскольку лодка движется не в направлении действия веревки, значит, она участвует в сложном движении. Результирующей скоростью этого движения является скорость лодки, а скорость вытягивания веревки - это лишь одна из составляющих. Каково же направление второй составляющей?
Направление второй составляющей скорости надо выбирать так, чтобы движение вдоль него оставляло абсолютное значение вектора скорости веревки $v_{в}$ постоянным, изменяя лишь его направление. Нетрудно видеть, что это будет только в том случае, если направление второй составляющей будет образовывать с веревкой прямой угол. В противном случае всегда возможно вторую составляющую $v_{2}$ разложить, как это показано в левой части рисунка, еще раз так, что одна из вновь появившихся составляющих $v_{2}^{ \prime}$ будет изменять величину $v_{в}$.
Из сказанного следует, что параллелограмм скоростей в данном конкретном случае должен являться прямоугольником, в котором результирующая направлена горизонтально, а одна из составляющих совпадает по направлению с веревкой. Сделав соответствующий чертеж (правая часть рис.), находим
$v_{л} = \frac{v_{в} }{ \cos \alpha}$,
что и является правильным решением задачи.
Таким образом, хотя всякий вектор можно разложить по любым направлениям, не всякое разложение будет иметь смысл. Разложение, показанное на рисунке,
лишено физического смысла, поскольку результирующим является движение не вдоль веревки, а по горизонтальному направлению, и разложению надо подвергать именно его.
Особенно просто задача решается методами дифференциального исчисления.
Из треугольника АВС (рис.) имеем:
$AB^{2} = BC^{2} + AC^{2}$.
Продифференцируем это выражение по времени, полагая для краткости записи $AB = l, BC = h$ и $AC = s$. Поскольку $h$ постоянно, имеем:
$2l \frac{dl}{dt} = 2s \frac{ds}{dt}$.
Учитывая, что
$\frac{s}{l} = \cos \alpha$,
получим:
$\frac{dl}{dt} = \frac{ds}{dt} \cos \alpha$.
Но $\frac{dl}{dt}$ является скоростью вытягивания веревки $v_{в}$, тогда как $\frac{ds}{dt}$ представляет собой скорость лодки $v_{л}$. Поэтому
$v_{в} = v_{л} \cos \alpha$,
или
$v_{л} = \frac{v_{в}}{ \cos \alpha}$.
Стоящий на берегу человек подтягивает лодку, выбирая с некоторой постоянной скоростью $v_{в}$ привязанную к носу лодки веревку. Разложим скорость $v_{в}$ так, как показано на рисунке. Тогда для скорости лодки $v_{л}$ получим:
$v_{л} = v_{в} \cos \alpha$.
Из этой формулы следует, что, чем больше угол $\alpha$, то есть чем ближе лодка к берегу, тем скорость ее меньше. На самом же деле наоборот - по мере приближения лодки к берегу ее скорость возрастает, в чем легко убедиться на опыте. Достаточно привязать к карандашу нитку и потянуть за нее так, как тянули лодку.
В чем же причина разногласий между теорией и опытом?
Решение:
Поскольку лодка движется не в направлении действия веревки, значит, она участвует в сложном движении. Результирующей скоростью этого движения является скорость лодки, а скорость вытягивания веревки - это лишь одна из составляющих. Каково же направление второй составляющей?
Направление второй составляющей скорости надо выбирать так, чтобы движение вдоль него оставляло абсолютное значение вектора скорости веревки $v_{в}$ постоянным, изменяя лишь его направление. Нетрудно видеть, что это будет только в том случае, если направление второй составляющей будет образовывать с веревкой прямой угол. В противном случае всегда возможно вторую составляющую $v_{2}$ разложить, как это показано в левой части рисунка, еще раз так, что одна из вновь появившихся составляющих $v_{2}^{ \prime}$ будет изменять величину $v_{в}$.
Из сказанного следует, что параллелограмм скоростей в данном конкретном случае должен являться прямоугольником, в котором результирующая направлена горизонтально, а одна из составляющих совпадает по направлению с веревкой. Сделав соответствующий чертеж (правая часть рис.), находим
$v_{л} = \frac{v_{в} }{ \cos \alpha}$,
что и является правильным решением задачи.
Таким образом, хотя всякий вектор можно разложить по любым направлениям, не всякое разложение будет иметь смысл. Разложение, показанное на рисунке,
лишено физического смысла, поскольку результирующим является движение не вдоль веревки, а по горизонтальному направлению, и разложению надо подвергать именно его.
Особенно просто задача решается методами дифференциального исчисления.
Из треугольника АВС (рис.) имеем:
$AB^{2} = BC^{2} + AC^{2}$.
Продифференцируем это выражение по времени, полагая для краткости записи $AB = l, BC = h$ и $AC = s$. Поскольку $h$ постоянно, имеем:
$2l \frac{dl}{dt} = 2s \frac{ds}{dt}$.
Учитывая, что
$\frac{s}{l} = \cos \alpha$,
получим:
$\frac{dl}{dt} = \frac{ds}{dt} \cos \alpha$.
Но $\frac{dl}{dt}$ является скоростью вытягивания веревки $v_{в}$, тогда как $\frac{ds}{dt}$ представляет собой скорость лодки $v_{л}$. Поэтому
$v_{в} = v_{л} \cos \alpha$,
или
$v_{л} = \frac{v_{в}}{ \cos \alpha}$.
