Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1125
2016-10-20 
Ванна, одна из стенок которой представляет собой наклонную плоскость, заполнена водой с плотностью $\rho_{в}$. В ванну медленно погружают длинный тонкий круглый карандаш, удерживая его нитью за верхний конец, который перемещают вниз вдоль наклонной стенки (см. рисунок). Какая часть карандаша должна погрузиться в воду, чтобы нижний конец перестал касаться стенки? Плотность карандаша $\rho_{к} = (3/4) \rho_{в}$.
Решение:
Пусть $L$ — длина карандаша, $S$ — площадь его поперечного сечения, $\alpha$ — угол при основании наклонной плоскости, образующей стенку ванны (см. рис.). Предположим, что нижний конец карандаша перестал давить на стенку ванны тогда, когда в воду погрузилась $x$-я часть карандаша (отметим, что $0 < x < 1$). В этот момент карандаш опирается на стенку только верхним концом (точка О), и на него, помимо силы реакции опоры и силы натяжения нити, действуют сила тяжести $F_{т} = \rho_{к} gSL$, приложенная к середине карандаша, и сила Архимеда $F_{А} = \rho_{в} gSLx$, приложенная к середине его погруженной части. Карандаш будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него моментов сил, вычисленных относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, будет равна нулю. Плечо силы тяжести в рассматриваемый момент равно $(L \cos \alpha)/2$, плечо силы Архимеда равно $\left ( L - \frac{Lx}{2} \right ) \cos \alpha$. Значит, условие равновесия карандаша имеет вид
$\rho_{к} gSL \cdot \frac{L \cos \alpha}{2} - \rho_{в} gSLx \cdot \frac{L \cos \alpha}{2} \cdot (2-x) = 0$.
С учётом того, что $\rho_{к}/ \rho_{в} = 3/4$, полученное уравнение можно переписать следующим образом:
$x^{2} - 2x + \frac{3}{4} = 0$.
Оно имеет два корня, из которых наложенному на $x$ ограничению удовлетворяет только один: $x = 1/2$. Значит, для того, чтобы нижний конец карандаша перестал касаться стенки ванны, его нужно погрузить в воду больше, чем наполовину.
Ванна, одна из стенок которой представляет собой наклонную плоскость, заполнена водой с плотностью $\rho_{в}$. В ванну медленно погружают длинный тонкий круглый карандаш, удерживая его нитью за верхний конец, который перемещают вниз вдоль наклонной стенки (см. рисунок). Какая часть карандаша должна погрузиться в воду, чтобы нижний конец перестал касаться стенки? Плотность карандаша $\rho_{к} = (3/4) \rho_{в}$.
Решение:
Пусть $L$ — длина карандаша, $S$ — площадь его поперечного сечения, $\alpha$ — угол при основании наклонной плоскости, образующей стенку ванны (см. рис.). Предположим, что нижний конец карандаша перестал давить на стенку ванны тогда, когда в воду погрузилась $x$-я часть карандаша (отметим, что $0 < x < 1$). В этот момент карандаш опирается на стенку только верхним концом (точка О), и на него, помимо силы реакции опоры и силы натяжения нити, действуют сила тяжести $F_{т} = \rho_{к} gSL$, приложенная к середине карандаша, и сила Архимеда $F_{А} = \rho_{в} gSLx$, приложенная к середине его погруженной части. Карандаш будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него моментов сил, вычисленных относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, будет равна нулю. Плечо силы тяжести в рассматриваемый момент равно $(L \cos \alpha)/2$, плечо силы Архимеда равно $\left ( L - \frac{Lx}{2} \right ) \cos \alpha$. Значит, условие равновесия карандаша имеет вид
$\rho_{к} gSL \cdot \frac{L \cos \alpha}{2} - \rho_{в} gSLx \cdot \frac{L \cos \alpha}{2} \cdot (2-x) = 0$.
С учётом того, что $\rho_{к}/ \rho_{в} = 3/4$, полученное уравнение можно переписать следующим образом:
$x^{2} - 2x + \frac{3}{4} = 0$.
Оно имеет два корня, из которых наложенному на $x$ ограничению удовлетворяет только один: $x = 1/2$. Значит, для того, чтобы нижний конец карандаша перестал касаться стенки ванны, его нужно погрузить в воду больше, чем наполовину.
