Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11249
2019-11-09 
В цепи, показанной на рис., увеличили все сопротивления. Может ли при этом увеличиться ток $I$?
Решение:
Может. Если э. д. с. $E_{1}$ мала по сравнению с э. д. с. $E_{2}$, то, увеличивая сопротивление $R_{1}$, мы увеличиваем ток $I$. Пусть $E_{1}$ значительно меньше $E_{2}$ и мы увеличиваем $R_{1}$ заметно, a $R_{2}$ и $R$ - очень мало. Тогда результат будет почти таким же, как в случае увеличения одного лишь сопротивления $R_{1}$. Следовательно, ток $I$ при этом увеличится.
Дадим количественное решение рассматриваемой задачи. Для упрощения выкладок добавим внутренние сопротивления источников к сопротивлениям участка АВ, т. е. будем считать, что $R_{1}$ и $R_{2}$ - полные сопротивления верхней и, нижней ветвей этого участка. Потенциал точки А будем считать равным нулю, а потенциал точки В обозначим через $\phi$. Тогда согласно закону Ома
$E_{1} - \phi = I_{1}R_{1}, E_{2} - \phi = I_{2}R_{2}, \phi = IR, I = I_{1} + I_{2}$.
Получилась система четырех уравнений с четырьмя неизвестными $\phi, I_{1}, I_{2}, I$. Решив ее, найдем
$I = \frac{E_{1}R_{2} + E_{2}R_{1} }{R_{1}R_{2} + R(R_{1} + R_{2} ) }$,
что можно записать в виде
$I = \frac{ \frac{E_{1} }{R_{1} } + \frac{E_{2} }{R_{2} } }{ 1 + \frac{R}{R_{1} } + \frac{R}{R_{2} } }$.
Поскольку $E_{1}$ значительно меньше $E_{2}$, первым слагаемым в числителе написанной дроби можно пренебречь. Если, далее, мы увеличим $R_{1}$ сильно, а $R_{2}$ и $R$ - очень мало, то числитель этой дроби (в котором отброшено первое слагаемое) останется почти тем же, а знаменатель уменьшится. Следовательно, ток $I$ увеличится.
Примечение: Ток $I$ можно найти, ие решая системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Для этого достаточно воспользовался формулами
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \cdots + \frac{1}{r_{n} }$, (1)
$\frac{E}{r} = \frac{E_{1} }{r_{1} } + \frac{ E_{2}}{r_{2} } + \cdots + \frac{E_{n} }{r_{n} }$, (2)
где $r$ и $E$ - внутреннее сопротивление и э. д. с. батареи, получающейся при параллельном соединении нескольких источников тока. Пользуясь формулой (1), можно вычислить внутреннее сопротивление батареи, показанной на рис., а затем, пользуясь формулой (2), - э. д с. Этой батареи. После этого, здая внешнее сопротивление $R$, можно с помощью закона Ома найти ток $I$.
Докажем равенства (1) и (2). Пусть несколько источников соединены параллельпо н зайкиуты на какое-то внешнее сопротивление. Тогда согласно закону Ома
$E_{1} - U = I_{1}r_{1}$,
$E_{2} - U = I_{2}r_{2}$,
$\cdots$
$E_{n} - U = I_{n}r_{n}$,
где $U$ - напряжение на внешней цепи этой батареи. Следовательно, ток во внешней цепи равен
$I = \sum I_{i} = \sum \frac{E_{i} -U }{r_{i} }$,
т. е.
$I = \sum \frac{E_{i} }{r_{i} } - U \sum \frac{1}{r_{i} }$. (3)
Пусть теперь $E$ и $r$ -э. д. с. и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного этой батарее. Тогда ток $I$ будет равен
$I = \frac{E - U}{r} = \frac{E}{r} - U \frac{1}{r}$. (4)
Сравнивая равенства (3) и (4), видим, что
$\frac{E}{r} = \sum \frac{E_{i} }{r_{i} }, \frac{1}{r} = \sum \frac{1}{r_{i} }$,
т. е. мы получили соотношения (1) и (2).
Формулы (1), (2) полезны при решении многих задач, в Которых фигурируют параллельно соединенные источники тока.
Замечание э.д.с $E$, определяемая формулой (2), не равна отношению $N/I$, где $N$ - полная мощность батареи, а $I$ - протекающий через нее ток. Следовательно, эта э. д. с. не является электродвижущей силой батареи в буквальном смысле слова Однако, если заменить эту батарею одним источником, э. д. с. которого определяется формулой (2), а внутреннее сопротивление-формулой (1), те токи, протекающие во внешней цепи батареи, останутся прежними, какой бы ни была эта цепь. Таким образом, формулы (1), (2) определяют внутреннее сопротивление и э. д с. источника, эквивалентного дайной батарее. Это обстоятельство позволяет рассматривать $E$ как э. д. с. данной батареи, а $r$ - как ее внутреннее сопротивление.
В цепи, показанной на рис., увеличили все сопротивления. Может ли при этом увеличиться ток $I$?
Решение:
Может. Если э. д. с. $E_{1}$ мала по сравнению с э. д. с. $E_{2}$, то, увеличивая сопротивление $R_{1}$, мы увеличиваем ток $I$. Пусть $E_{1}$ значительно меньше $E_{2}$ и мы увеличиваем $R_{1}$ заметно, a $R_{2}$ и $R$ - очень мало. Тогда результат будет почти таким же, как в случае увеличения одного лишь сопротивления $R_{1}$. Следовательно, ток $I$ при этом увеличится.
Дадим количественное решение рассматриваемой задачи. Для упрощения выкладок добавим внутренние сопротивления источников к сопротивлениям участка АВ, т. е. будем считать, что $R_{1}$ и $R_{2}$ - полные сопротивления верхней и, нижней ветвей этого участка. Потенциал точки А будем считать равным нулю, а потенциал точки В обозначим через $\phi$. Тогда согласно закону Ома
$E_{1} - \phi = I_{1}R_{1}, E_{2} - \phi = I_{2}R_{2}, \phi = IR, I = I_{1} + I_{2}$.
Получилась система четырех уравнений с четырьмя неизвестными $\phi, I_{1}, I_{2}, I$. Решив ее, найдем
$I = \frac{E_{1}R_{2} + E_{2}R_{1} }{R_{1}R_{2} + R(R_{1} + R_{2} ) }$,
что можно записать в виде
$I = \frac{ \frac{E_{1} }{R_{1} } + \frac{E_{2} }{R_{2} } }{ 1 + \frac{R}{R_{1} } + \frac{R}{R_{2} } }$.
Поскольку $E_{1}$ значительно меньше $E_{2}$, первым слагаемым в числителе написанной дроби можно пренебречь. Если, далее, мы увеличим $R_{1}$ сильно, а $R_{2}$ и $R$ - очень мало, то числитель этой дроби (в котором отброшено первое слагаемое) останется почти тем же, а знаменатель уменьшится. Следовательно, ток $I$ увеличится.
Примечение: Ток $I$ можно найти, ие решая системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Для этого достаточно воспользовался формулами
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \cdots + \frac{1}{r_{n} }$, (1)
$\frac{E}{r} = \frac{E_{1} }{r_{1} } + \frac{ E_{2}}{r_{2} } + \cdots + \frac{E_{n} }{r_{n} }$, (2)
где $r$ и $E$ - внутреннее сопротивление и э. д. с. батареи, получающейся при параллельном соединении нескольких источников тока. Пользуясь формулой (1), можно вычислить внутреннее сопротивление батареи, показанной на рис., а затем, пользуясь формулой (2), - э. д с. Этой батареи. После этого, здая внешнее сопротивление $R$, можно с помощью закона Ома найти ток $I$.
Докажем равенства (1) и (2). Пусть несколько источников соединены параллельпо н зайкиуты на какое-то внешнее сопротивление. Тогда согласно закону Ома
$E_{1} - U = I_{1}r_{1}$,
$E_{2} - U = I_{2}r_{2}$,
$\cdots$
$E_{n} - U = I_{n}r_{n}$,
где $U$ - напряжение на внешней цепи этой батареи. Следовательно, ток во внешней цепи равен
$I = \sum I_{i} = \sum \frac{E_{i} -U }{r_{i} }$,
т. е.
$I = \sum \frac{E_{i} }{r_{i} } - U \sum \frac{1}{r_{i} }$. (3)
Пусть теперь $E$ и $r$ -э. д. с. и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного этой батарее. Тогда ток $I$ будет равен
$I = \frac{E - U}{r} = \frac{E}{r} - U \frac{1}{r}$. (4)
Сравнивая равенства (3) и (4), видим, что
$\frac{E}{r} = \sum \frac{E_{i} }{r_{i} }, \frac{1}{r} = \sum \frac{1}{r_{i} }$,
т. е. мы получили соотношения (1) и (2).
Формулы (1), (2) полезны при решении многих задач, в Которых фигурируют параллельно соединенные источники тока.
Замечание э.д.с $E$, определяемая формулой (2), не равна отношению $N/I$, где $N$ - полная мощность батареи, а $I$ - протекающий через нее ток. Следовательно, эта э. д. с. не является электродвижущей силой батареи в буквальном смысле слова Однако, если заменить эту батарею одним источником, э. д. с. которого определяется формулой (2), а внутреннее сопротивление-формулой (1), те токи, протекающие во внешней цепи батареи, останутся прежними, какой бы ни была эта цепь. Таким образом, формулы (1), (2) определяют внутреннее сопротивление и э. д с. источника, эквивалентного дайной батарее. Это обстоятельство позволяет рассматривать $E$ как э. д. с. данной батареи, а $r$ - как ее внутреннее сопротивление.
