Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11245
2019-11-09 
Если в центр незаряженной металлической сферы помещен положительный точечный заряд $q$, то поле вне сферы, симметрично (рис.). Доказать, что это поле будет таким же, если поместить заряд $q$ не в центре сферы, а где угодно внутри нее.
Решение:
Сначала рассмотрим другой случай, а именно - точечный заряд $+q$, помещенный внутри проводящей сферы, несущей отрицательный заряд $-q$ (рис.). Докажем, что в этом случае поле будет существовать только внутри сферы.
Рассмотрим однородную проводящую среду, заполняющую все пространство. Вырежем в ней сферическую полость и внесем туда точечный заряд $+q$ (рис.). Тогда на поверхности полости появится индуцированный отрицательный заряд $- q$, а в бесконечно удаленных точках среды- индуцированный положительный заряд $+q$. При этом во всех точкач вне этой полости будут отсутствовать как электрическое поле, так и заряды (ибо среда является проводником). Удалим теперь ту часть рассматриваемой среды, которая находится вне пунктирной сферы (см. рис.). Тогда точечный заряд $+q$ окажется внутри проводящей сферы, несущей заряд $-q$. Но так как удаляемая часть не содержит зарядов (заряды, находящиеся в бесконечности, не существенны), то, отбрасывая ее, мы не изменяем электрического поля. Следовательно, оно по-прежнему будет существовать лишь внутри данной полости.
Итак, если внутри полой проводящей сферы, несуще заряд $-q$, находится точечный заряд $+q$, то поле существует только внутри этой сферы (см. рис.).
Сообщим теперь сфере, показанной на рис., дополнительный заряд $+ q$. Тогда ее суммарный заряд станет равным нулю, т. е. мы придем к случаю, который нас интересует (точечный заряд $+q$ внутри незаряженной сферы). Но так как на внешней поверхности этой сферы нет поля, то дополнительный заряд $+q$ распределится по ней равномерно. Таким образом, мы получим картину, показанную на рис.: внутри незаряженной сферы находится точечный заряд $+q$, на ее внутренней поверхности - заряд $-q$, а на внешней - заряд $+q$, распределенный по этой поверхности равномерно.
Теперь ясно, каким будет поле вне сферы, изображенной на рис. Можно считать, что оно получается в результате суперпозиции двух полей: поля, порождаемого зарядом $+q$ на внешней поверхности, и поля, порождаемого точечным рядом $+q$ и зарядом $-q$ на внутренней поверхности. Но мы видели, что второе из этих полей существует только внутри сферы (см. рис.). Следовательно, вне сферы поле создается только зарядом $+q$, находящимся на ее внешней поверхности. А так как этот заряд распределен равномерно, то создаваемое им поле будет симметричным.
В проведенных рассуждениях мы пользовались искусственным приемом: вместо того, чтобы вносить точечный заряд $+q$ внутрь незаряженной сферы, мы внесли его внутрь сферы, имеющей заряд $-q$, а затем сообщили ей дополнительный заряд $+q$. Но ясно, что электростатическое поле не зависит от способа, которым мы заряжаем или разряжаем тела, порождающие этр поде. Поэтому поле, показанное на рис., возникнет и при внесении точечного заряда $+q$ внутрь сферы, которая не была заряжена. Положительный заряд на ее внешней поверхности и отрицательный заряд на ее внутренней поверхности появятся в этом случае вследствие электростатической индукции.
Если в центр незаряженной металлической сферы помещен положительный точечный заряд $q$, то поле вне сферы, симметрично (рис.). Доказать, что это поле будет таким же, если поместить заряд $q$ не в центре сферы, а где угодно внутри нее.
Решение:
Сначала рассмотрим другой случай, а именно - точечный заряд $+q$, помещенный внутри проводящей сферы, несущей отрицательный заряд $-q$ (рис.). Докажем, что в этом случае поле будет существовать только внутри сферы.
Рассмотрим однородную проводящую среду, заполняющую все пространство. Вырежем в ней сферическую полость и внесем туда точечный заряд $+q$ (рис.). Тогда на поверхности полости появится индуцированный отрицательный заряд $- q$, а в бесконечно удаленных точках среды- индуцированный положительный заряд $+q$. При этом во всех точкач вне этой полости будут отсутствовать как электрическое поле, так и заряды (ибо среда является проводником). Удалим теперь ту часть рассматриваемой среды, которая находится вне пунктирной сферы (см. рис.). Тогда точечный заряд $+q$ окажется внутри проводящей сферы, несущей заряд $-q$. Но так как удаляемая часть не содержит зарядов (заряды, находящиеся в бесконечности, не существенны), то, отбрасывая ее, мы не изменяем электрического поля. Следовательно, оно по-прежнему будет существовать лишь внутри данной полости.
Итак, если внутри полой проводящей сферы, несуще заряд $-q$, находится точечный заряд $+q$, то поле существует только внутри этой сферы (см. рис.).
Сообщим теперь сфере, показанной на рис., дополнительный заряд $+ q$. Тогда ее суммарный заряд станет равным нулю, т. е. мы придем к случаю, который нас интересует (точечный заряд $+q$ внутри незаряженной сферы). Но так как на внешней поверхности этой сферы нет поля, то дополнительный заряд $+q$ распределится по ней равномерно. Таким образом, мы получим картину, показанную на рис.: внутри незаряженной сферы находится точечный заряд $+q$, на ее внутренней поверхности - заряд $-q$, а на внешней - заряд $+q$, распределенный по этой поверхности равномерно.
Теперь ясно, каким будет поле вне сферы, изображенной на рис. Можно считать, что оно получается в результате суперпозиции двух полей: поля, порождаемого зарядом $+q$ на внешней поверхности, и поля, порождаемого точечным рядом $+q$ и зарядом $-q$ на внутренней поверхности. Но мы видели, что второе из этих полей существует только внутри сферы (см. рис.). Следовательно, вне сферы поле создается только зарядом $+q$, находящимся на ее внешней поверхности. А так как этот заряд распределен равномерно, то создаваемое им поле будет симметричным.
В проведенных рассуждениях мы пользовались искусственным приемом: вместо того, чтобы вносить точечный заряд $+q$ внутрь незаряженной сферы, мы внесли его внутрь сферы, имеющей заряд $-q$, а затем сообщили ей дополнительный заряд $+q$. Но ясно, что электростатическое поле не зависит от способа, которым мы заряжаем или разряжаем тела, порождающие этр поде. Поэтому поле, показанное на рис., возникнет и при внесении точечного заряда $+q$ внутрь сферы, которая не была заряжена. Положительный заряд на ее внешней поверхности и отрицательный заряд на ее внутренней поверхности появятся в этом случае вследствие электростатической индукции.
