Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1123
2016-10-20 
Цилиндрический оловянный брусок массой $M = 1 кг$ и высотой $H= 10 см$, подвешенный к одному концу коромысла равноплечих весов так, что ось цилиндра вертикальна, погружен на $h = 2 см$ в воду, находящуюся в стакане с площадью сечения $S = 25 см^{2}$, и удерживается в этом положении при помощи противовеса, подвешенного к другому концу коромысла. На сколько изменится уровень воды в стакане, если изменить массу противовеса на $\Delta m = 80 г$? Плотность олова $\rho_{о} = 7,2 г/см^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1 г/см^{3}$. Считайте, что брусок не касается дна стакана, а вода из стакана не выливается.
Решение:
Площадь основания бруска равна $S_{1} = \frac{M}{ \rho_{0}H} \approx 13,9 см^{2}$. Масса вытесненной бруском воды (в положении равновесия) равна $\rho_{в}hS_{1} \approx 27,8 г$. При равновесии весов соблюдается условие:
$Mg - \rho_{в} ghS_{1} = mg$, (1)
где $m$ — масса противовеса. Далее возможны два случая.
1) Если к противовесу добавить массу $\Delta m = 80 г$, то равновесие нарушится, брусок поднимется и выйдет из воды, так как $\Delta m > \rho_{в} hS_{1}$. До нарушения равновесия объём воды, находившейся выше нижнего основания бруска, составлял $(S — S_{1})h$. Эта часть воды после того, как брусок поднимется, растечётся по объёму с площадью $S$ и высотой $\Delta l_{1}$, то есть $(S — S_{1})h = S \Delta l_{1}$. Отсюда $\Delta l_{1} = h - \frac{S_{1}}{S} h$. Таким образом, если массу противовеса увеличить на $\Delta m$, то уровень воды в стакане опустится на величину
$\Delta l = h - \Delta l_{1} = \frac{S_{1}}{S} h = \frac{Mh}{ \rho_{о}HS} \approx 1,11 см$.
2) Если от противовеса отнять массу $\Delta m$, то брусок опустится, и новое положение равновесия будет достигнуто при глубине погружения бруска, равной $h + \Delta h$. При этом условие равновесия имеет вид:
$Mg - \rho_{в} g(h + \Delta h)S_{1} = (m - \Delta m)g$. (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем: $\rho_{в} \Delta h S_{1} = \Delta m$, откуда $\Delta h = \frac{ \Delta m}{ \rho_{в}S_{1}} \approx 5,76 см$. Таким образом, $h + \Delta h \approx 7,76 см < H = 10 см$, то есть брусок не утонет. Отношение изменения уровня воды $\Delta l$ и глубины погружения бруска $\Delta h$ равно, как нетрудно видеть, отношению площадей бруска $S_{1}$ и сосуда $S$. Поэтому, если массу противовеса уменьшить на $\Delta m$, то уровень воды в стакане поднимется на
$\Delta l = \frac{S_{1}}{S} \Delta h = \frac{ \Delta m}{ \rho_{в}S} = 3,2 см$.
Цилиндрический оловянный брусок массой $M = 1 кг$ и высотой $H= 10 см$, подвешенный к одному концу коромысла равноплечих весов так, что ось цилиндра вертикальна, погружен на $h = 2 см$ в воду, находящуюся в стакане с площадью сечения $S = 25 см^{2}$, и удерживается в этом положении при помощи противовеса, подвешенного к другому концу коромысла. На сколько изменится уровень воды в стакане, если изменить массу противовеса на $\Delta m = 80 г$? Плотность олова $\rho_{о} = 7,2 г/см^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1 г/см^{3}$. Считайте, что брусок не касается дна стакана, а вода из стакана не выливается.
Решение:
Площадь основания бруска равна $S_{1} = \frac{M}{ \rho_{0}H} \approx 13,9 см^{2}$. Масса вытесненной бруском воды (в положении равновесия) равна $\rho_{в}hS_{1} \approx 27,8 г$. При равновесии весов соблюдается условие:
$Mg - \rho_{в} ghS_{1} = mg$, (1)
где $m$ — масса противовеса. Далее возможны два случая.
1) Если к противовесу добавить массу $\Delta m = 80 г$, то равновесие нарушится, брусок поднимется и выйдет из воды, так как $\Delta m > \rho_{в} hS_{1}$. До нарушения равновесия объём воды, находившейся выше нижнего основания бруска, составлял $(S — S_{1})h$. Эта часть воды после того, как брусок поднимется, растечётся по объёму с площадью $S$ и высотой $\Delta l_{1}$, то есть $(S — S_{1})h = S \Delta l_{1}$. Отсюда $\Delta l_{1} = h - \frac{S_{1}}{S} h$. Таким образом, если массу противовеса увеличить на $\Delta m$, то уровень воды в стакане опустится на величину
$\Delta l = h - \Delta l_{1} = \frac{S_{1}}{S} h = \frac{Mh}{ \rho_{о}HS} \approx 1,11 см$.
2) Если от противовеса отнять массу $\Delta m$, то брусок опустится, и новое положение равновесия будет достигнуто при глубине погружения бруска, равной $h + \Delta h$. При этом условие равновесия имеет вид:
$Mg - \rho_{в} g(h + \Delta h)S_{1} = (m - \Delta m)g$. (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем: $\rho_{в} \Delta h S_{1} = \Delta m$, откуда $\Delta h = \frac{ \Delta m}{ \rho_{в}S_{1}} \approx 5,76 см$. Таким образом, $h + \Delta h \approx 7,76 см < H = 10 см$, то есть брусок не утонет. Отношение изменения уровня воды $\Delta l$ и глубины погружения бруска $\Delta h$ равно, как нетрудно видеть, отношению площадей бруска $S_{1}$ и сосуда $S$. Поэтому, если массу противовеса уменьшить на $\Delta m$, то уровень воды в стакане поднимется на
$\Delta l = \frac{S_{1}}{S} \Delta h = \frac{ \Delta m}{ \rho_{в}S} = 3,2 см$.
