Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1121
2016-10-20 
В горизонтальном дне сосуда имеется прямоугольное отверстие с размерами $a \times b$. Его закрыли прямоугольным параллелепипедом со сторонами $b \times x \times c$ так, что одна из диагоналей грани $c \times c$ вертикальна (вид сбоку показан на рисунке). В сосуд медленно наливают жидкость плотностью $\rho$. Какова должна быть масса параллелепипеда $M$. чтобы он не всплывал при любом уровне воды? Силами трения и поверхностного натяжения пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
Исследуем вопрос о том, при каком уровне жидкости сила гидростатического давления, действующая на параллелепипед, будет максимальна.
Разобьём параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов. Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов, в следующих случаях.
1) Жидкость и сверху, и снизу элемента отсутствует. В этом тривиальном случае, очевидно, сила давления равна нулю.
2) Жидкость есть над элементом, но её нет под элементом (см. рис. 1). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось отрицательна, то есть жидкость стремится прижать рассматриваемый элемент к дну.
3) Жидкость есть под элементом, но её нет над элементом (см. рис. 2). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна
$f = \rho gb \Delta xh = \rho g \Delta V$, где $h$ и $\Delta V$ — высота и объём заштрихованной части рассматриваемого элемента.
4) Жидкость есть и под элементом, и над ним (см. рис. 3). В этом случае проекция на вертикаль силы давления равна $f = \rho gb \Delta x(h_{2} — h_{1}) = \rho g \Delta V$, где $h_{1}$ и $h_{2}$ — расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней рассматриваемого элемента соответственно.
Таким образом, из рассмотрения случаев 1 и 2 следует, что если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение проекции силы на вертикальную ось положительно и равно $\rho g \Delta V$, где $\Delta V$ — объём рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рисунке 4. При этом интересующий нас объём $\Delta V$ (заштрихован на рисунке 4) равен $\Delta V = \left ( с - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2} b$, а максимальная величина выталкивающей силы равна
$F= \rho g \Delta V = \rho gb \left ( c - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2}$.
Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рисунке 4, то она не всплывёт и при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки можно найти
из условия $Mg > F$, откуда
$M > \rho b \left ( c - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2}$.
В горизонтальном дне сосуда имеется прямоугольное отверстие с размерами $a \times b$. Его закрыли прямоугольным параллелепипедом со сторонами $b \times x \times c$ так, что одна из диагоналей грани $c \times c$ вертикальна (вид сбоку показан на рисунке). В сосуд медленно наливают жидкость плотностью $\rho$. Какова должна быть масса параллелепипеда $M$. чтобы он не всплывал при любом уровне воды? Силами трения и поверхностного натяжения пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
Исследуем вопрос о том, при каком уровне жидкости сила гидростатического давления, действующая на параллелепипед, будет максимальна.
Разобьём параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов. Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов, в следующих случаях.
1) Жидкость и сверху, и снизу элемента отсутствует. В этом тривиальном случае, очевидно, сила давления равна нулю.
2) Жидкость есть над элементом, но её нет под элементом (см. рис. 1). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось отрицательна, то есть жидкость стремится прижать рассматриваемый элемент к дну.
3) Жидкость есть под элементом, но её нет над элементом (см. рис. 2). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна
$f = \rho gb \Delta xh = \rho g \Delta V$, где $h$ и $\Delta V$ — высота и объём заштрихованной части рассматриваемого элемента.
4) Жидкость есть и под элементом, и над ним (см. рис. 3). В этом случае проекция на вертикаль силы давления равна $f = \rho gb \Delta x(h_{2} — h_{1}) = \rho g \Delta V$, где $h_{1}$ и $h_{2}$ — расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней рассматриваемого элемента соответственно.
Таким образом, из рассмотрения случаев 1 и 2 следует, что если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение проекции силы на вертикальную ось положительно и равно $\rho g \Delta V$, где $\Delta V$ — объём рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рисунке 4. При этом интересующий нас объём $\Delta V$ (заштрихован на рисунке 4) равен $\Delta V = \left ( с - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2} b$, а максимальная величина выталкивающей силы равна
$F= \rho g \Delta V = \rho gb \left ( c - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2}$.
Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рисунке 4, то она не всплывёт и при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки можно найти
из условия $Mg > F$, откуда
$M > \rho b \left ( c - \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2}$.
