Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11206
2019-11-09 
Через шероховатый шкив переброшена нить, к концам которой приложены силы $P$ и $Q$ по 60 Н каждая (рис.). Когда силу $P$ начали постепенно увеличивать и это увеличение достигло 20 Н, точка А стала опускаться. В другой раз силу $P$ стали не увеличивать, а уменьшать. На сколько надо ее уменьшить, чтобы точка А начала подниматься?
Решение:
На 15 Н.
1-е решение. Пусть к точкам А и В приложены не* равные силы $P$ и $Q$, удерживающие нить в равновесии. Ясно, что если увеличить (или уменьшить) их в одно и то же число раз, то во столько же раз увеличатся (или уменьшатся) силы трения и нить будет оставаться в равновесии. Если же силы $P$ и $Q$ были такими, что приводили нить в движение, то они будут двигать ее и в случае увеличения (или уменьшения) этих сил в одинаковое число раз. Отсюда следует, что вопрос о равновесии нити определяется только отношением $P/Q$. Следовательно, точка А станет опускаться, если
$\frac{P}{Q} \geq n$, (1)
где $n$ - число, зависящее от коэффициента трения и, возможно, от радиуса цилиндра.
Пользуясь неравенством (1), легко решить эту задачу. Так как точка А стала опускаться при $P = 80Н$, $Q = 60 Н$, то
$n = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$.
Значит, для того чтобы точка А стала подниматься, должно выполняться неравенство
$\frac{Q}{P} \geq \frac{4}{3}$,
которое при $Q = 60 Н$ дает
$P \leq 45 Н$.
Следовательно, чтобы точка А стала подниматься, надо уменьшить силу $P$ на
60 - 45= 15 Н.
2-е решение. Пусть сила $Q$ задана и нужно найти то минимальное значение силы $P$, при котором точка А начинает опускаться. Очевидно,
$P_{min} = f(Q, k, R)$, (2)
где $k$ - коэффициент трения, a $R$ - радиус цилиндра. Далее, так как число $k$ безразмерно, а величины $Q$ и $R$ имеют существенно различные размерности, то правая часть равенства (2) будет иметь размерность силы, только если
$f(Q,k,R) = Q \phi(k)$,
где $\phi(k)$ - некоторая функция безразмерного аргумента $k$. Таким образом,
$P_{min} = Q \phi( k)$.
откуда
$\frac{P_{min} }{Q} = \phi (k)$.
Значит, чтобы точка А опускалась, сила $P$ должна удовлетворять неравенству
$\frac{P}{Q} \geq \phi (k)$. (3)
Обозначив правую часть этого неравенства через п, получим соотношение (1) и дальше можем повторить рассуждения, изложенные в 1-м решении.
(Эйлер доказал, что правая часть неравенства (3) имеет вид
$\phi(k) = e^{k \pi}$, (4)
где $e$ — основание натуральных логарифмов ($e \approx 2,718$). Мы не выводим соотношения (4), так как это трудно сделать элементарным путем.)
Через шероховатый шкив переброшена нить, к концам которой приложены силы $P$ и $Q$ по 60 Н каждая (рис.). Когда силу $P$ начали постепенно увеличивать и это увеличение достигло 20 Н, точка А стала опускаться. В другой раз силу $P$ стали не увеличивать, а уменьшать. На сколько надо ее уменьшить, чтобы точка А начала подниматься?
Решение:
На 15 Н.
1-е решение. Пусть к точкам А и В приложены не* равные силы $P$ и $Q$, удерживающие нить в равновесии. Ясно, что если увеличить (или уменьшить) их в одно и то же число раз, то во столько же раз увеличатся (или уменьшатся) силы трения и нить будет оставаться в равновесии. Если же силы $P$ и $Q$ были такими, что приводили нить в движение, то они будут двигать ее и в случае увеличения (или уменьшения) этих сил в одинаковое число раз. Отсюда следует, что вопрос о равновесии нити определяется только отношением $P/Q$. Следовательно, точка А станет опускаться, если
$\frac{P}{Q} \geq n$, (1)
где $n$ - число, зависящее от коэффициента трения и, возможно, от радиуса цилиндра.
Пользуясь неравенством (1), легко решить эту задачу. Так как точка А стала опускаться при $P = 80Н$, $Q = 60 Н$, то
$n = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$.
Значит, для того чтобы точка А стала подниматься, должно выполняться неравенство
$\frac{Q}{P} \geq \frac{4}{3}$,
которое при $Q = 60 Н$ дает
$P \leq 45 Н$.
Следовательно, чтобы точка А стала подниматься, надо уменьшить силу $P$ на
60 - 45= 15 Н.
2-е решение. Пусть сила $Q$ задана и нужно найти то минимальное значение силы $P$, при котором точка А начинает опускаться. Очевидно,
$P_{min} = f(Q, k, R)$, (2)
где $k$ - коэффициент трения, a $R$ - радиус цилиндра. Далее, так как число $k$ безразмерно, а величины $Q$ и $R$ имеют существенно различные размерности, то правая часть равенства (2) будет иметь размерность силы, только если
$f(Q,k,R) = Q \phi(k)$,
где $\phi(k)$ - некоторая функция безразмерного аргумента $k$. Таким образом,
$P_{min} = Q \phi( k)$.
откуда
$\frac{P_{min} }{Q} = \phi (k)$.
Значит, чтобы точка А опускалась, сила $P$ должна удовлетворять неравенству
$\frac{P}{Q} \geq \phi (k)$. (3)
Обозначив правую часть этого неравенства через п, получим соотношение (1) и дальше можем повторить рассуждения, изложенные в 1-м решении.
(Эйлер доказал, что правая часть неравенства (3) имеет вид
$\phi(k) = e^{k \pi}$, (4)
где $e$ — основание натуральных логарифмов ($e \approx 2,718$). Мы не выводим соотношения (4), так как это трудно сделать элементарным путем.)
