ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-09   
Шар насажен на стержень АВ, вокруг которого может вращаться (рис.). При вращении стержня АВ вокруг вертикальной оси EF шар катится по горизонтальной плоскости. Доказать, что на шаре имеются точки D, мгновенные скорости которых направлены назад (т. е. противоположно скорости центра шара).



Решение:



Движение шара складывается из двух движений: из вращения вокруг оси EF с угловой скоростью $\omega$ и из вращения вокруг оси АВ с угловой скоростью $\omega^{ \prime}$ (рис.). Поэтому скорость точки С можно представить в виде

$v_{C} = \omega \cdot AO - \omega^{ \prime} \cdot OC$.

Но так как $v_{C} = 0$, то

$\omega \cdot AO - \omega^{ \prime} \cdot OC = 0$,

откуда

$\omega^{ \prime} = \omega \frac{AO}{OC}$. (1)

Вычислим теперь скорость точки D. Так как она участвует в двух указанных движениях, то

$v_{D} = \omega a - \omega^{ \prime}b$,

или с учетом (1)

$v_{D} = \omega a - \omega \frac{AO}{OC} b = \omega b \left ( \frac{a}{b} - \frac{AO}{OC} \right )$.

Но

$\frac{a}{b} = tg \angle DAE, \frac{AO}{OC} = \frac{CE}{AE} = tg \angle CAE$,

И поэтому

$v_{D} = \omega b(tg \angle DAE - tg \angle CAE)$. (2)

Полученное равенство приводит к следующим заклю-чениям:

1) если точка D лежит выше прямой AС, то

$tg \angle DAE > tg \angle CAE$

и $v_{D} > 0$, т. e. скорость точки D направлена так же, как скорость точки O;

2) если точка D лежит Ниже прямой АС (как на рис.), то

$tg \angle DAE < tg \angle CAE$

и $v_{D} < 0$, т. е. скорость точки D направлена противоположно скорости точки O;

3) если точка D лежит на прямой AC, то

$tg \angle DAE = tg \angle CAE$

и $v_{D} = 0$.