Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11195
2019-11-08 
Как изменится температура известной жидкости, если в нее опустить капиллярную трубку, теплоемкостью которой можно пренебречь? Наружная стенка трубки к смачиванию безразлична, а внутренняя полностью смачиваема или, наоборот, абсолютно несмачиваема. Объем жидкости $V$ известен. За время процесса жидкость получила $Q$ тепла. Каким будет ответ в случае замкнутости системы?
Решение:
При погружении трубки в жидкость последняя будет или опускаться или подниматься по внутренней части трубки до тех пор, пока не наступит равновесие, определяемое тем, что силы, действующие на поднявшийся столб, дадут в сумме нуль. Из этого условия равновесия столба $( p_{л} + p_{a}) S = ( \rho gh + p_{a}) S$ следует $\rho_{л} = \rho gh$.
Поскольку жидкость полностью смачивает (или не смачивает) трубку, мениск будет полусферой с радиусом, равным радиусу трубки. Поэтому $p_{л} = \frac{2 \sigma}{R}$ и, значит,
$\frac{2 \sigma}{R} = \rho gh$ или $h = \frac{2 \sigma}{ \rho gR}$, (*)
где $R$ - радиус трубки.
Первое начало дает (в пренебрежении работой расширения жидкости)
$Q = c_{V}M \Delta T + Mg \Delta h_{c}$,
где $\Delta h_{c}$ - изменение высоты центра тяжести жидкости. Очевидно, что из-за малости объема капилляра по сравнению с объемом жидкости можно считать, что изменилось положение центра тяжести только у той части жидкости, которая вошла в трубку. Но это значит, что $Mg \Delta h_{c} \approx mg \frac{h}{2}$, где $m$ - масса вошедшей в трубку жидкости, $h$ - высота этого столба.
С учетом сказанного имеем
$Q = c_{V} \rho V \Delta T \pm \rho \pi R^{2} hg \frac{h}{2}$,
что совместно с (*) дает
$Q = c_{V} \rho V \Delta T \pm \frac{2 \pi \sigma^{2} }{ \rho g}$.
Знак «+» соответствует смачиванию (жидкость поднимается), знак «-» - несмачиванию (жидкость опускается).
Если система замкнута, то $Q = 0$ и
$\Delta T = - \left ( \pm \frac{2 \sigma^{2} }{c_{V} \rho^{2} gV } \right )$. (**)
Из этой формулы видно, что смачивающая жидкость будет охлаждаться ($\Delta T < 0$), а несмачивающая - нагреваться ($\Delta T > 0$).
Коэффициент $\sigma$ зависит от температуры, а мы считали его постоянным. Но допущенная ошибка, очевидно, невелика при $V_{трубки} \ll V$. Действительно из (**) следует, что $\Delta T \sim \frac{1}{V}$ и $\Delta T$ при большом $V$ очень мало, что означает $T \approx const$, а значит и $\sigma \approx const$.
Как изменится температура известной жидкости, если в нее опустить капиллярную трубку, теплоемкостью которой можно пренебречь? Наружная стенка трубки к смачиванию безразлична, а внутренняя полностью смачиваема или, наоборот, абсолютно несмачиваема. Объем жидкости $V$ известен. За время процесса жидкость получила $Q$ тепла. Каким будет ответ в случае замкнутости системы?
Решение:
При погружении трубки в жидкость последняя будет или опускаться или подниматься по внутренней части трубки до тех пор, пока не наступит равновесие, определяемое тем, что силы, действующие на поднявшийся столб, дадут в сумме нуль. Из этого условия равновесия столба $( p_{л} + p_{a}) S = ( \rho gh + p_{a}) S$ следует $\rho_{л} = \rho gh$.
Поскольку жидкость полностью смачивает (или не смачивает) трубку, мениск будет полусферой с радиусом, равным радиусу трубки. Поэтому $p_{л} = \frac{2 \sigma}{R}$ и, значит,
$\frac{2 \sigma}{R} = \rho gh$ или $h = \frac{2 \sigma}{ \rho gR}$, (*)
где $R$ - радиус трубки.
Первое начало дает (в пренебрежении работой расширения жидкости)
$Q = c_{V}M \Delta T + Mg \Delta h_{c}$,
где $\Delta h_{c}$ - изменение высоты центра тяжести жидкости. Очевидно, что из-за малости объема капилляра по сравнению с объемом жидкости можно считать, что изменилось положение центра тяжести только у той части жидкости, которая вошла в трубку. Но это значит, что $Mg \Delta h_{c} \approx mg \frac{h}{2}$, где $m$ - масса вошедшей в трубку жидкости, $h$ - высота этого столба.
С учетом сказанного имеем
$Q = c_{V} \rho V \Delta T \pm \rho \pi R^{2} hg \frac{h}{2}$,
что совместно с (*) дает
$Q = c_{V} \rho V \Delta T \pm \frac{2 \pi \sigma^{2} }{ \rho g}$.
Знак «+» соответствует смачиванию (жидкость поднимается), знак «-» - несмачиванию (жидкость опускается).
Если система замкнута, то $Q = 0$ и
$\Delta T = - \left ( \pm \frac{2 \sigma^{2} }{c_{V} \rho^{2} gV } \right )$. (**)
Из этой формулы видно, что смачивающая жидкость будет охлаждаться ($\Delta T < 0$), а несмачивающая - нагреваться ($\Delta T > 0$).
Коэффициент $\sigma$ зависит от температуры, а мы считали его постоянным. Но допущенная ошибка, очевидно, невелика при $V_{трубки} \ll V$. Действительно из (**) следует, что $\Delta T \sim \frac{1}{V}$ и $\Delta T$ при большом $V$ очень мало, что означает $T \approx const$, а значит и $\sigma \approx const$.
