ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-08   
В цилиндре, закрытом поршнем, подвешенном на пружине, находится газ.
Найти зависимость объема газа от температуры при очень медленном ее изменении. Трение поршня о стенки считать ничтожным (рис.).



Решение:


Поскольку температура, а значит, и давление газа меняются очень медленно, то поршень заметного ускорения не имеет и потому в проекции на вертикаль при расширении получим

$mg + kx + p_{a}S - pS = 0$,

Кроме того,

$pV = \frac{M}{ \mu} RT$.

Исключая из этих равенств $p$ и учитывая, что $x = \frac{V - V_{0} }{S}$ (где $V$ - объем газа в рассматриваемый момент, а $V_{0}$ - в момент, когда пружина была недеформирована), получим

$mg + k \frac{V - V_{0} }{S} + p_{a}S - \frac{M}{ \mu} \frac{RT}{V} S = 0$,

откуда

$\frac{k}{S} V^{2} + \left ( mg + p_{a}S - \frac{kV_{0} }{S} \right )V - \frac{M}{ \mu} RST = 0$,

или

$aV^{2} + bV - cT = 0$,

откуда

$V = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^{2} + 4acT } }{2a}$,

где ради краткости введены обозначения

$a = \frac{k}{S}, b = \left ( mg + p_{a}S - \frac{kV_{0} }{S} \right )$ и $c = \frac{M}{ \mu} RS$.