Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11185
2019-11-08 
Из металлического баллона объемом $V$, содержавшего воздух при давлении $p$, сделали $N$ откачиваний и $N$ накачиваний насосом с рабочим объемом $v$. Считая наружные условия заданными ($p_{a}$ и $T$), найти изменение массы воздуха в сосуде, если все процессы происходили достаточно медленно.
Решение:
Медленность процессов в данном случае означает, с учетом металличности баллона, что температура системы все время мало отличается от температуры окружающего воздуха и равна $T$. Очевидно также, что
$\Delta M = M^{ \prime \prime} - M = (M^{ \prime} + m) - M$, (*)
где $M^{ \prime}$ - масса воздуха после откачки; $M^{ \prime \prime}$ - конечная масса воздуха в баллоне; $M$ - начальная масса воздуха в баллоне; $m$ - масса накачанного воздуха; $\Delta M$ - изменение массы воздуха за весь процесс. Но
$m = m_{0}N = \rho vN = \frac{p_{a} \mu }{RT} vN$, (**)
где $m_{0}$ - порция воздуха, забираемая насосом за один раз извне, причем в силу неизменности внешних условий все $m_{0}$ одинаковы.
При откачке протекание процесса существенно меняется. Поскольку объем насоса неизменен, а при откачке каждый раз давление в сосуде все уменьшается, то порции откачиваемого воздуха не равны меж собой. Это надо учесть при нахождении $M^{ \prime}$.
Именно
$M^{ \prime} = \frac{ \mu Vp^{ \prime} }{RT}$, (***)
где $p^{ \prime}$ - давление газа в конце откачки. Его надо находить поэтапно (в силу сказанного выше).
Для серии откачиваний имеем (с учетом постоянства температуры и массы газа при расширении)
1) $pV = p_{1}(V+v)$,
2) $p_{1} V = p_{2}(V+v)$,
3) $p_{2} V = p_{3}(V+v)$
$\cdots$
N) $p_{N - 1}V = p_{N}(V + v)$.
Эта система равенств приводит при их перемножении и делении на $p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{i} \cdot \cdots \cdot p_{N - 1}$ к уравнению
$p_{N} = p \left ( \frac{V}{V + v} \right )^{N}$.
Поскольку давление $p_{N}$ и есть $p^{ \prime}$, то уравнение (***) примет вид
$M^{ \prime} = \frac{ \mu V}{RT} p \left ( \frac{V}{V + v} \right )^{N}$. (****)
Подставляя $M^{ \prime}$ из (****), $m$ из (**) в (*), получим
$\Delta M = \frac{ \mu}{RT} \left [ pV \left ( \frac{V}{V + v} + p_{a}vN - pV \right )^{N} \right ]$.
Из металлического баллона объемом $V$, содержавшего воздух при давлении $p$, сделали $N$ откачиваний и $N$ накачиваний насосом с рабочим объемом $v$. Считая наружные условия заданными ($p_{a}$ и $T$), найти изменение массы воздуха в сосуде, если все процессы происходили достаточно медленно.
Решение:
Медленность процессов в данном случае означает, с учетом металличности баллона, что температура системы все время мало отличается от температуры окружающего воздуха и равна $T$. Очевидно также, что
$\Delta M = M^{ \prime \prime} - M = (M^{ \prime} + m) - M$, (*)
где $M^{ \prime}$ - масса воздуха после откачки; $M^{ \prime \prime}$ - конечная масса воздуха в баллоне; $M$ - начальная масса воздуха в баллоне; $m$ - масса накачанного воздуха; $\Delta M$ - изменение массы воздуха за весь процесс. Но
$m = m_{0}N = \rho vN = \frac{p_{a} \mu }{RT} vN$, (**)
где $m_{0}$ - порция воздуха, забираемая насосом за один раз извне, причем в силу неизменности внешних условий все $m_{0}$ одинаковы.
При откачке протекание процесса существенно меняется. Поскольку объем насоса неизменен, а при откачке каждый раз давление в сосуде все уменьшается, то порции откачиваемого воздуха не равны меж собой. Это надо учесть при нахождении $M^{ \prime}$.
Именно
$M^{ \prime} = \frac{ \mu Vp^{ \prime} }{RT}$, (***)
где $p^{ \prime}$ - давление газа в конце откачки. Его надо находить поэтапно (в силу сказанного выше).
Для серии откачиваний имеем (с учетом постоянства температуры и массы газа при расширении)
1) $pV = p_{1}(V+v)$,
2) $p_{1} V = p_{2}(V+v)$,
3) $p_{2} V = p_{3}(V+v)$
$\cdots$
N) $p_{N - 1}V = p_{N}(V + v)$.
Эта система равенств приводит при их перемножении и делении на $p_{1} \cdot p_{2} \cdot \cdots \cdot p_{i} \cdot \cdots \cdot p_{N - 1}$ к уравнению
$p_{N} = p \left ( \frac{V}{V + v} \right )^{N}$.
Поскольку давление $p_{N}$ и есть $p^{ \prime}$, то уравнение (***) примет вид
$M^{ \prime} = \frac{ \mu V}{RT} p \left ( \frac{V}{V + v} \right )^{N}$. (****)
Подставляя $M^{ \prime}$ из (****), $m$ из (**) в (*), получим
$\Delta M = \frac{ \mu}{RT} \left [ pV \left ( \frac{V}{V + v} + p_{a}vN - pV \right )^{N} \right ]$.
